Упр.696 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) x2 — 4x + 3 = 0;
2) х2 + 2x — 3 = 0;
3) x2 + Зx — 4 = 0;
4) х2 — 4х — 21 = 0;
5) x2 + x — 56 = 0;
6) x2 — 6x — 7 = 0;
7) x2 — 8x + 12 = 0; При каком значении b имеет единственный корень уравнение:
1) bх2 + x + b = 0;
2) (b + З)x2 + (b + 1)x — 2 = 0?
$$x^2-4x+3=0$$
$$D=16-12=4$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=3$$
$$x^2+2x-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1$$
$$x^2+3x-4=0$$
$$D=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=1$$
$$x^2-4x-21=0$$
$$D=16+84=100$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 10}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=7$$
$$x^2+x-56=0$$
$$D=1+224=225$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 15}{2}$$
$$x_1=-8,\quad x_2=7$$
$$x^2-6x-7=0$$
$$D=36+28=64$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 8}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=7$$
$$x^2-8x+12=0$$
$$D=64-48=16$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2}$$
$$x_1=2,\quad x_2=6$$
Чтобы квадратное уравнение имело единственный корень, его дискриминант должен быть равен нулю.
$$bx^2+x+b=0$$
Если $$b=0$$, получаем линейное уравнение $$x=0$$, у которого один корень.
Если $$b\ne 0$$, то
$$D=1-4b^2$$
$$1-4b^2=0$$
$$4b^2=1$$
$$b=\pm \frac12$$
Но при $$b=\frac12$$ и $$b=-\frac12$$ уравнение действительно имеет по одному корню.
Значит, $$b=0,\ \frac12,\ -\frac12$$.
$$\left(b+3\right)x^2+\left(b+1\right)x-2=0$$
Если $$b=-3$$, уравнение становится линейным:
$$-2x-2=0$$
$$x=-1$$
Это один корень.
Если $$b\ne -3$$, то
$$D=\left(b+1\right)^2-4\left(b+3\right)\left(-2\right)$$
$$D=b^2+2b+1+8b+24=b^2+10b+25$$
$$b^2+10b+25=0$$
$$\left(b+5\right)^2=0$$
$$b=-5$$
Ответ
1) $$x=1,\ 3$$; 2) $$x=-3,\ 1$$; 3) $$x=-4,\ 1$$; 4) $$x=-3,\ 7$$; 5) $$x=-8,\ 7$$; 6) $$x=-1,\ 7$$; 7) $$x=2,\ 6$$; 8) $$b=0,\ \pm \frac12$$; 9) $$b=-3,\ -5$$.
