Упр.695 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) х2 — 6x + 4 = 0;
2) 5х2 — 10x + 6 = 0;
3) Зх2 + 4х — 2 = 0;
4) 0,04х2 — 0,4x + 1 = 0? При каком значении b имеет единственный корень уравнение:
1) bх2 — 6x — 7 = 0;
2) (b + 5)х2- (b + 6)х + 3 = 0;
3) (b — 4)х2 + (2b — 8)x + 15 = 0?
1) Для квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ число корней определяется дискриминантом $$D=b^2-4ac$$.
1. $$x^2-6x+4=0$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 4=36-16=20>0,$$ значит, уравнение имеет два корня.
2. $$5x^2-10x+6=0$$
$$D=(-10)^2-4\cdot 5\cdot 6=100-120=-20<0,$$ значит, корней нет.
3. $$3x^2+4x-2=0$$
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-2)=16+24=40>0,$$ значит, уравнение имеет два корня.
4. $$0{,}04x^2-0{,}4x+1=0$$
$$D=(-0{,}4)^2-4\cdot 0{,}04\cdot 1=0{,}16-0{,}16=0,$$ значит, уравнение имеет один корень.
Следовательно, не имеет корней уравнение 2).
2) Единственный корень квадратного уравнения бывает при $$D=0$$, если коэффициент при $$x^2$$ не равен нулю.
1. $$bx^2-6x-7=0$$
Если $$b\neq 0,$$ то
$$D=(-6)^2-4\cdot b\cdot(-7)=36+28b.$$
Приравниваем к нулю:
$$36+28b=0$$
$$28b=-36$$
$$b=-\frac{36}{28}=-\frac{9}{7}.$$
Если $$b=0,$$ получаем линейное уравнение $$-6x-7=0,$$ у которого тоже один корень.
Значит, $$b=-\frac{9}{7}$$ или $$b=0.$$
2. $$(b+5)x^2-(b+6)x+3=0$$
Если $$b+5\neq 0,$$ то
$$D=(b+6)^2-4\cdot (b+5)\cdot 3$$
$$D=b^2+12b+36-12b-60=b^2-24.$$
Приравниваем к нулю:
$$b^2-24=0$$
$$b^2=24$$
$$b=\pm \sqrt{24}=\pm 2\sqrt{6}.$$
Если $$b+5=0,$$ то $$b=-5,$$ и уравнение становится линейным, значит, имеет один корень.
Значит, $$b=\pm 2\sqrt{6}$$ или $$b=-5.$$
3. $$(b-4)x^2+(2b-8)x+15=0$$
Если $$b\neq 4,$$ то
$$D=(2b-8)^2-4\cdot (b-4)\cdot 15$$
$$D=4b^2-32b+64-60b+240=4b^2-92b+304.$$
Приравниваем к нулю:
$$4b^2-92b+304=0$$
$$b^2-23b+76=0.$$
$$D_1=23^2-4\cdot 76=529-304=225,$$
$$b=\frac{23\pm 15}{2}.$$
Получаем:
$$b_1=4,\quad b_2=19.$$
Но $$b=4$$ не подходит, так как тогда коэффициент при $$x^2$$ равен нулю и уравнение становится линейным. Поэтому подходит только $$b=19.$$
Ответ
1) $$2.$$
2) $$b=-\frac{9}{7},\ 0;\quad b=\pm 2\sqrt{6},\ -5;\quad b=19.$$
