Упр.694 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x2 + 4х + 8 = 0;
2) 3×2 — 4х — 1 = 0;
8) 4×2 — 12x + 9 = 0;
4) 2×2 — 9x + 15 = 0? Для каждого значения а решите уравнение:
1) x2 — (2а — b)х — За2 + 5а = 0;
2) x2 + (За — 4)х — 12а = 0;
3) ах2 — (а + 1)x + 1 = 0.

1) $$x^2-(2a-5)x-3a^2+5a=0$$

Найдём дискриминант:

$$
D=(2a-5)^2-4\cdot 1\cdot(-3a^2+5a)=4a^2-20a+25+12a^2-20a=16a^2-40a+25=(4a-5)^2.
$$

Тогда корни:

$$
x_{1,2}=\frac{2a-5\pm(4a-5)}{2}.
$$

$$
x_1=\frac{2a-5+4a-5}{2}=3a-5,\qquad
x_2=\frac{2a-5-(4a-5)}{2}=-a.
$$

Ответ: $$x=3a-5$$ и $$x=-a$$.

2) $$x^2+(3a-4)x-12a=0$$

Дискриминант:

$$
D=(3a-4)^2-4\cdot 1\cdot(-12a)=9a^2-24a+16+48a=9a^2+24a+16=(3a+4)^2.
$$

Корни:

$$
x_{1,2}=\frac{-(3a-4)\pm(3a+4)}{2}.
$$

$$
x_1=\frac{-3a+4+3a+4}{2}=4,\qquad
x_2=\frac{-3a+4-(3a+4)}{2}=-3a.
$$

Ответ: $$x=4$$ и $$x=-3a$$.

3) $$ax^2-(a+1)x+1=0$$

Если $$a=0$$, получаем линейное уравнение:

$$
-x+1=0,\qquad x=1.
$$

Если $$a\ne 0$$, найдём дискриминант:

$$
D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2.
$$

Тогда

$$
x_{1,2}=\frac{a+1\pm(a-1)}{2a}.
$$

$$
x_1=\frac{a+1+a-1}{2a}=1,\qquad
x_2=\frac{a+1-(a-1)}{2a}=\frac1a.
$$

При $$a=1$$ оба корня совпадают: $$x=1$$.

Ответ

1) $$x=3a-5,\; x=-a$$; 2) $$x=4,\; x=-3a$$; 3) при $$a\ne 0$$: $$x=1,\; x=\frac1a$$, при $$a=0$$: $$x=1$$.