Упр.693 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) х2 + 2x — 4 = 0;
2) x2 — 3x + 5 = 0;
3) 2х2 — 6x — 3,5 = 0;
4) 5х2 — 2x + 0,2 = 0. Для каждого значения а решите уравнение:
1) х2 + (За + 1)x + 2а2 + а = 0;
2) x2 — (2а + 4)х + 8а = 0;
3) а2×2 — 24ах — 25 = 0;
4) 3(2а — 1)x2 — 2(а + 1)х + 1 = 0.

1. $$x^2+(3a+1)x+2a^2+a=0$$

   $$D=(3a+1)^2-4(2a^2+a)=9a^2+6a+1-8a^2-4a=a^2+2a+1=(a+1)^2.$$

   $$x_{1,2}=\frac{-(3a+1)\pm(a+1)}{2}.$$

   $$x_1=\frac{-(3a+1)-(a+1)}{2}=-2a-1,\qquad x_2=\frac{-(3a+1)+(a+1)}{2}=-a.$$

2. $$x^2-(2a+4)x+8a=0$$

   $$D=(2a+4)^2-4\cdot 8a=4a^2+16a+16-32a=4a^2-16a+16=(2a-4)^2.$$

   $$x_{1,2}=\frac{2a+4\pm(2a-4)}{2}.$$

   $$x_1=\frac{2a+4-(2a-4)}{2}=4,\qquad x_2=\frac{2a+4+(2a-4)}{2}=2a.$$

3. $$a^2x^2-24ax-25=0$$

   Если $$a=0$$, получаем $$-25=0$$ — решений нет.

   Если $$a\ne 0$$, то

   $$D=(-24a)^2-4\cdot a^2\cdot(-25)=576a^2+100a^2=676a^2=(26a)^2.$$

   $$x_{1,2}=\frac{24a\pm 26a}{2a^2}.$$

   $$x_1=\frac{24a-26a}{2a^2}=-\frac{1}{a},\qquad x_2=\frac{24a+26a}{2a^2}=\frac{25}{a}.$$

4. $$3(2a-1)x^2-2(a+1)x+1=0$$

   Если $$a=\frac12$$, то уравнение превращается в линейное:

   $$-3x+1=0,\qquad x=\frac13.$$

   Если $$a\ne \frac12$$, то

   $$D=[-2(a+1)]^2-4\cdot 3(2a-1)\cdot 1=4(a+1)^2-12(2a-1)=4a^2-16a+16=4(a-2)^2.$$

   $$x_{1,2}=\frac{2(a+1)\pm 2(a-2)}{6(2a-1)}.$$

   $$x_1=\frac{2(a+1)-2(a-2)}{6(2a-1)}=\frac{1}{2a-1},\qquad x_2=\frac{2(a+1)+2(a-2)}{6(2a-1)}=\frac13.$$

Ответ

1. $$x=-2a-1,\; x=-a.$$
2. $$x=4,\; x=2a.$$
3. При $$a\ne 0$$: $$x=-\frac1a,\; x=\frac{25}{a}$$; при $$a=0$$ решений нет.
4. При $$a\ne \frac12$$: $$x=\frac{1}{2a-1},\; x=\frac13$$; при $$a=\frac12$$: $$x=\frac13.$$