Упр.692 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Печатный автомат получает на входе карточку с числами (а; b) и выдает на выходе карточку с числами ((а + b)/2; 2/(1/a + 1/b)). Можно ли с помощью этого автомата из карточки с числами (0,25; 1000) получить карточку с числами (1,25; 250)? Докажите, что при любом значении b уравнение х2 + bх — 7 = 0 имеет два корня. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak8 692 827

При работе автомата карточка с числами $$\left(a;b\right)$$ переходит в карточку

$$\left(\frac{a+b}{2};\frac{2}{\frac1a+\frac1b}\right).$$

Найдём произведение чисел на входе:

$$ab.$$

Найдём произведение чисел на выходе:

$$\frac{a+b}{2}\cdot \frac{2}{\frac1a+\frac1b}=\frac{a+b}{2}\cdot \frac{2ab}{a+b}=ab.$$

Значит, произведение чисел карточки при таком преобразовании не меняется.

Для карточки $$\left(0{,}25;1000\right)$$ произведение равно

$$0{,}25\cdot 1000=250.$$

Для карточки $$\left(1{,}25;250\right)$$ произведение равно

$$1{,}25\cdot 250=312{,}5.$$

Так как произведения различны, получить из карточки $$\left(0{,}25;1000\right)$$ карточку $$\left(1{,}25;250\right)$$ с помощью этого автомата нельзя.

Докажем, что уравнение $$x^2+bx-7=0$$ при любом значении $$b$$ имеет два корня.

Вычислим дискриминант:

$$D=b^2-4\cdot 1\cdot(-7)=b^2+28.$$

Так как $$b^2\ge 0$$, то

$$D=b^2+28>0.$$

Следовательно, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня при любом $$b$$.

Ответ

Из карточки $$\left(0{,}25;1000\right)$$ получить карточку $$\left(1{,}25;250\right)$$ нельзя. Уравнение $$x^2+bx-7=0$$ при любом $$b$$ имеет два различных корня.