Упр.685 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) х2 — 7|х| = 0;
2) х2 — 6|x| + х = 0;
3) 2х2 — 3×2/|x| = 0. Решите уравнение:
1) |x2 + 10x — 4| = 20;
2) х|х| + 12x — 45 = 0;
3) x3/|x| — 14x — 15 = 0;
4) х2 — 8 корень х2 — 9 = 0.

Подробный ответ

$$x^2-7|x|=0$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, и получаем
$$x^2-7x=0$$
$$x(x-7)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=7.$$
Если $$x \le 0$$, то $$|x|=-x$$, и получаем
$$x^2+7x=0$$
$$x(x+7)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-7.$$
Итак, $$x=0,\pm 7.$$
$$x^2-6|x|+x=0$$
Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$:
$$x^2-6x+x=0$$
$$x^2-5x=0$$
$$x(x-5)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=5.$$
Если $$x \le 0$$, то $$|x|=-x$$:
$$x^2+6x+x=0$$
$$x^2+7x=0$$
$$x(x+7)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-7.$$
Итак, $$x=0,-7,5.$$
$$2x^2-\frac{3x^2}{|x|}=0$$
Так как $$x \ne 0$$, рассмотрим случаи.
Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$:
$$2x^2-\frac{3x^2}{x}=0$$
$$2x^2-3x=0$$
$$x(2x-3)=0$$
$$x=\frac{3}{2}.$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:
$$2x^2+\frac{3x^2}{x}=0$$
$$2x^2+3x=0$$
$$x(2x+3)=0$$
$$x=-\frac{3}{2}.$$
Итак, $$x=\pm \frac{3}{2}.$$
$$|x^2+10x-4|=20$$
1) $$x^2+10x-4=20$$
$$x^2+10x-24=0$$
$$D=100+96=196$$
$$x_1=\frac{-10-14}{2}=-12,\quad x_2=\frac{-10+14}{2}=2.$$
2) $$x^2+10x-4=-20$$
$$x^2+10x+16=0$$
$$D=100-64=36$$
$$x_1=\frac{-10-6}{2}=-8,\quad x_2=\frac{-10+6}{2}=-2.$$
Итак, $$x=-12,-8,-2,2.$$
$$x|x|+12x-45=0$$
Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$:
$$x^2+12x-45=0$$
$$D=144+180=324$$
$$x_1=\frac{-12-18}{2}=-15,\quad x_2=\frac{-12+18}{2}=3.$$
Подходит только $$x=3$$.
Если $$x \le 0$$, то $$|x|=-x$$:
$$-x^2+12x-45=0$$
$$x^2-12x+45=0$$
$$D=144-180=-36<0.$$
Корней нет.
$$\frac{x^3}{|x|}-14x-15=0$$
Так как $$x \ne 0$$, рассмотрим случаи.
Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$:
$$x^2-14x-15=0$$
$$D=196+60=256$$
$$x_1=\frac{14-16}{2}=-1,\quad x_2=\frac{14+16}{2}=15.$$
Подходит только $$x=15$$.
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:
$$-x^2-14x-15=0$$
$$x^2+14x+15=0$$
$$D=196-60=136$$
$$x_{1,2}=\frac{-14\pm \sqrt{136}}{2}=-7\pm \sqrt{34}.$$
Оба корня отрицательны, значит подходят.
$$x^2-8\sqrt{x^2}-9=0$$
Так как $$\sqrt{x^2}=|x|$$, получаем
$$x^2-8|x|-9=0.$$
Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$:
$$x^2-8x-9=0$$
$$D=64+36=100$$
$$x_1=\frac{8-10}{2}=-1,\quad x_2=\frac{8+10}{2}=9.$$
Подходит только $$x=9$$.
Если $$x \le 0$$, то $$|x|=-x$$:
$$x^2+8x-9=0$$
$$D=64+36=100$$
$$x_1=\frac{-8-10}{2}=-9,\quad x_2=\frac{-8+10}{2}=1.$$
Подходит только $$x=-9$$.