Упр.681 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) а > 0, с > 0;
2) а < 0, с > 0;
3) а > 0, с < 0; 4) а < 0, с < 0? (Старинная индийская задача.) На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны . Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась. А двенадцать по лианам Стали прыгать, повисая. Сколько было обезьянок. Ты скажи мне, в этой стае?

Рассмотрим уравнение $$ax^2+c=0.$$ Тогда

$$ax^2=-c,\qquad x^2=-\frac{c}{a}.$$

Квадрат числа не может быть отрицательным, значит корни существуют только тогда, когда

$$-\frac{c}{a}\ge 0,$$

то есть числа $$a$$ и $$c$$ должны быть разных знаков или $$c=0$$.

Проверим случаи:

1. $$a>0,\ c>0$$. Тогда $$-\frac{c}{a}<0$$, корней нет.
2. $$a<0,\ c>0$$. Тогда $$-\frac{c}{a}>0$$, корни есть.
3. $$a>0,\ c<0$$. Тогда $$-\frac{c}{a}>0$$, корни есть.
4. $$a<0,\ c<0$$. Тогда $$-\frac{c}{a}<0$$, корней нет.

Для старинной индийской задачи пусть было $$x$$ обезьян. Тогда восьмая часть всех обезьян и ещё 12 дают общее число:

$$\left(\frac{x}{8}\right)^2+12=x.$$

Умножим на $$64$$:

$$x^2-64x+768=0.$$

Найдём корни:

$$D=64^2-4\cdot 768=4096-3072=1024,$$

$$\sqrt{D}=32.$$

$$x_{1,2}=\frac{64\pm 32}{2}.$$

$$x_1=16,\qquad x_2=48.$$

Оба значения подходят по смыслу задачи.

Ответ

1) Корней нет; 2) корни есть; 3) корни есть; 4) корней нет. В задаче про обезьян: $$16$$ или $$48$$ обезьян.