Упр.680 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) а > 0, b > 0;
2) а < 0, b > 0;
3) а > 0, b < 0; 4) а < 0, b < 0? Докажите, что если старший коэффициент и свободный член квадратного уравнения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение имеет вид $$ax^2+bx=0.$$

Вынесем $$x$$ за скобки:

$$x(ax+b)=0.$$

Отсюда один корень всегда равен $$x_1=0,$$ а второй находится из уравнения $$ax+b=0,$$ то есть

$$x_2=-\frac{b}{a}.$$

Определим знак отличного от нуля корня:

1. если $$a>0,$$ $$b>0,$$ то $$-\frac{b}{a}<0,$$ значит, второй корень отрицательный;
2. если $$a<0,$$ $$b>0,$$ то $$-\frac{b}{a}>0,$$ значит, второй корень положительный;
3. если $$a>0,$$ $$b<0,$$ то $$-\frac{b}{a}>0,$$ значит, второй корень положительный;
4. если $$a<0,$$ $$b<0,$$ то $$-\frac{b}{a}<0,$$ значит, второй корень отрицательный.

Итак, знак отличного от нуля корня зависит от знаков $$a$$ и $$b$$.

Докажем утверждение для квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0.$$ Если старший коэффициент и свободный член имеют разные знаки, то $$ac<0.$$ Тогда

$$D=b^2-4ac.$$

Так как $$ac<0,$$ то $$-4ac>0,$$ значит,

$$D=b^2-4ac>0.$$

Следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ

1) отрицательным; 2) положительным; 3) положительным; 4) отрицательным. Если старший коэффициент и свободный член имеют разные знаки, то квадратное уравнение имеет два корня.