Упр.677 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Найдите два последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 1. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 31 см, а диагональ прямоугольника равна 41 см.
1) Пусть меньшее из двух последовательных целых чисел равно $$x$$, тогда следующее число равно $$x+1$$.
По условию сумма квадратов этих чисел равна $$1$$, значит:
$$x^2+(x+1)^2=1$$
$$x^2+x^2+2x+1=1$$
$$2x^2+2x=0$$
$$2x(x+1)=0$$
Отсюда:
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-1$$
Значит, пары чисел: $$0$$ и $$1$$; $$-1$$ и $$0$$.
2) Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$ см, тогда другая равна $$x+31$$ см. По теореме Пифагора:
$$x^2+(x+31)^2=41^2$$
$$x^2+x^2+62x+961=1681$$
$$2x^2+62x-720=0$$
$$x^2+31x-360=0$$
Найдём корни:
$$D=31^2-4\cdot 1\cdot(-360)=961+1440=2401$$
$$\sqrt{D}=49$$
$$x=\frac{-31\pm 49}{2}$$
$$x_1=\frac{-31-49}{2}=-40,\quad x_2=\frac{-31+49}{2}=9$$
Отрицательное значение не подходит, значит, стороны прямоугольника:
$$9\text{ см} \quad \text{и} \quad 40\text{ см}$$
Ответ
1) $$0$$ и $$1$$; $$-1$$ и $$0$$.
2) $$9$$ см и $$40$$ см.
