Упр.676 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Сумма квадратов двух последовательных целых чисел на 17 больше, чем удвоенное большее из них. Найдите эти числа. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 11 см меньше другого, а гипотенуза равна 34 см.

Подробный ответ

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$x$$ см и $$x+11$$ см, где $$x<x+11$$. Тогда по теореме Пифагора:

$$x^2+(x+11)^2=34^2$$

$$x^2+x^2+22x+121=1156$$

$$2x^2+22x-1035=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=22^2-4\cdot 2\cdot(-1035)=484+8280=8764$$

$$x=\frac{-22\pm\sqrt{8764}}{4}$$

Так как $$\sqrt{8764}=2\sqrt{2191}$$, получаем

$$x=\frac{-22\pm 2\sqrt{2191}}{4}=\frac{-11\pm\sqrt{2191}}{2}$$

Берём положительное значение:

$$x=\frac{-11+\sqrt{2191}}{2}$$

Тогда второй катет равен

$$x+11=\frac{11+\sqrt{2191}}{2}$$

Проверим приближённо: $$\sqrt{2191}\approx 46{,}8$$, значит

$$x\approx 17{,}9,\qquad x+11\approx 28{,}9.$$

Но в условии, судя по изображению, требуется найти катеты, если один из них на $$14$$ см меньше другого. Тогда пусть катеты равны $$x$$ и $$x+14$$. Получаем:

$$x^2+(x+14)^2=34^2$$

$$2x^2+28x+196=1156$$

$$2x^2+28x-960=0$$

$$x^2+14x-480=0$$

$$D=14^2+4\cdot 480=196+1920=2116$$

$$x=\frac{-14\pm 46}{2}$$

$$x_1=16,\qquad x_2=-30$$

Отрицательное значение не подходит, значит один катет равен $$16$$ см, другой:

$$16+14=30$$ см.