Упр.670 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) число 6 является корнем уравнения х2 — nх + 3 = 0;
2) число 0,5 является корнем уравнения nх2 — 8x + 10 = 0? Решите уравнение:
1) 2×2 + x корень 5 — 15 = 0;
2) x2 — x(корень 6 — 1) — корень 6 = 0;
3) (x2-4)/8 — (2x+3)/3 = -1;
4) (4×2+x)/3 — (x2+17)/9 = (5x-1)/6.

1. Если число $$6$$ является корнем уравнения $$x^2-nx+3=0,$$ то подставим $$x=6$$:

   $$6^2-6n+3=0$$

   $$36-6n+3=0$$

   $$39-6n=0$$

   $$6n=39$$

   $$n=6{,}5.$$

2. Если число $$0{,}5$$ является корнем уравнения $$nx^2-8x+10=0,$$ то подставим $$x=0{,}5$$:

   $$n\cdot 0{,}5^2-8\cdot 0{,}5+10=0$$

   $$0{,}25n-4+10=0$$

   $$0{,}25n+6=0$$

   $$0{,}25n=-6$$

   $$n=-24.$$

3. $$2x^2+x\sqrt5-15=0$$

   $$D=(\sqrt5)^2-4\cdot 2\cdot(-15)=5+120=125$$

   $$x_{1,2}=\frac{-\sqrt5\pm\sqrt{125}}{2\cdot 2}=\frac{-\sqrt5\pm 5\sqrt5}{4}$$

   $$x_1=\frac{-\sqrt5-5\sqrt5}{4}=-\frac{3\sqrt5}{2},\qquad x_2=\frac{-\sqrt5+5\sqrt5}{4}=\sqrt5.$$

4. $$x^2-x(\sqrt6-1)-\sqrt6=0$$

   $$D=(\sqrt6-1)^2-4\cdot 1\cdot(-\sqrt6)=6-2\sqrt6+1+4\sqrt6=7+2\sqrt6=(\sqrt6+1)^2$$

   $$x_{1,2}=\frac{\sqrt6-1\pm(\sqrt6+1)}{2}$$

   $$x_1=\frac{\sqrt6-1-\sqrt6-1}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{\sqrt6-1+\sqrt6+1}{2}=\sqrt6.$$

5. $$\frac{x^2-4}{8}-\frac{2x+3}{3}=-1$$

   Умножим на $$24$$:

   $$3(x^2-4)-8(2x+3)=-24$$

   $$3x^2-12-16x-24=-24$$

   $$3x^2-16x-12=0$$

   $$D=(-16)^2-4\cdot 3\cdot(-12)=256+144=400$$

   $$x_{1,2}=\frac{16\pm 20}{6}$$

   $$x_1=\frac{16-20}{6}=-\frac23,\qquad x_2=\frac{16+20}{6}=6.$$

6. $$\frac{4x^2+x}{3}-\frac{x^2+17}{9}=\frac{5x-1}{6}$$

   Умножим на $$36$$:

   $$12(4x^2+x)-4(x^2+17)-6(5x-1)=0$$

   $$48x^2+12x-4x^2-68-30x+6=0$$

   $$44x^2-18x-62=0$$

   $$22x^2-9x-31=0$$

   $$D=(-9)^2-4\cdot 22\cdot(-31)=81+2728=2809$$

   $$x_{1,2}=\frac{9\pm 53}{44}$$

   $$x_1=\frac{9-53}{44}=-1,\qquad x_2=\frac{9+53}{44}=\frac{31}{22}=1\frac{9}{22}.$$

Ответ

1) $$n=6{,}5$$; 2) $$n=-24$$; 3) $$x=-\frac{3\sqrt5}{2},\ \sqrt5$$; 4) $$x=-1,\ \sqrt6$$; 5) $$x=-\frac23,\ 6$$; 6) $$x=-1,\ \frac{31}{22}$$.