Упр.643 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) а > 0, b > 0;
2) а < 0, b > 0;
3) а > 0, b < 0; 4) а < 0, b < 0?

Подробный ответ

Преобразуем выражение под корнями:

$$
\sqrt{(\sqrt a-6)^2+24\sqrt a}-\sqrt{(\sqrt a+6)^2-24\sqrt a}
$$
$$
=\sqrt{a-12\sqrt a+36+24\sqrt a}-\sqrt{a+12\sqrt a+36-24\sqrt a}
$$
$$
=\sqrt{a+12\sqrt a+36}-\sqrt{a-12\sqrt a+36}
$$
$$
=\sqrt{(\sqrt a+6)^2}-\sqrt{(\sqrt a-6)^2}
=|\sqrt a+6|-|\sqrt a-6|.
$$

Так как $$\sqrt a\ge 0,$$ то $$|\sqrt a+6|=\sqrt a+6.$$

Далее рассмотрим два случая:

1) если $$a>36,$$ то $$\sqrt a-6>0,$$ значит
$$
|\sqrt a-6|=\sqrt a-6,
$$
и тогда
$$
(\sqrt a+6)-(\sqrt a-6)=12.
$$

2) если $$0\le a\le 36,$$ то $$\sqrt a-6\le 0,$$ значит
$$
|\sqrt a-6|=6-\sqrt a,
$$
и тогда
$$
(\sqrt a+6)-(6-\sqrt a)=2\sqrt a.
$$

Итак, выражение равно:

$$
\begin{cases}
12, & a>36,\\
2\sqrt a, & 0\le a\le 36.
\end{cases}
$$

Для неполного квадратного уравнения $$ax^2+bx=0$$ имеем:

$$
x(ax+b)=0,
$$
откуда корни:
$$
x_1=0,\qquad x_2=-\frac{b}{a}.
$$

Знак отличного от нуля корня определяется знаком дроби $$-\frac{b}{a}$$: