Упр.642 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (m — 4)x2 + mх + 7 = 0;
2) (m2 + 8m)x2 + (m + 8)x + 10 = 0;
3) (m2 — 81)x2 — 6x + m = 0?

Упростим выражение:

$$\sqrt{(\sqrt a+1)^2-4\sqrt a}+\sqrt{(\sqrt a-2)^2+8\sqrt a}$$
$$=\sqrt{a+2\sqrt a+1-4\sqrt a}+\sqrt{a-4\sqrt a+4+8\sqrt a}$$
$$=\sqrt{a-2\sqrt a+1}+\sqrt{a+4\sqrt a+4}$$
$$=\sqrt{(\sqrt a-1)^2}+\sqrt{(\sqrt a+2)^2}$$
$$=|\sqrt a-1|+|\sqrt a+2|.$$

Так как $$\sqrt a+2>0$$ при любом $$a\ge 0$$, то $$|\sqrt a+2|=\sqrt a+2$$.

Рассмотрим знак выражения $$\sqrt a-1$$:

• если $$a>1$$, то $$|\sqrt a-1|=\sqrt a-1$$, и тогда
  $$|\sqrt a-1|+|\sqrt a+2|=(\sqrt a-1)+(\sqrt a+2)=2\sqrt a+1;$$
• если $$0\le a\le 1$$, то $$|\sqrt a-1|=1-\sqrt a$$, и тогда
  $$|\sqrt a-1|+|\sqrt a+2|=(1-\sqrt a)+(\sqrt a+2)=3.$$

Теперь найдём значения $$m$$, при которых уравнение не является квадратным, то есть старший коэффициент равен нулю.

1. $$ (m-4)x^2+mx+7=0 $$

   Старший коэффициент: $$m-4$$.

   $$m-4=0 \Rightarrow m=4.$$

2. $$ (m^2+8m)x^2+(m+8)x+10=0 $$

   Старший коэффициент: $$m^2+8m$$.

   $$m^2+8m=0$$
   $$m(m+8)=0$$
   $$m=0 \text{ или } m=-8.$$

3. $$ (m^2-81)x^2-6x+m=0 $$

   Старший коэффициент: $$m^2-81$$.

   $$m^2-81=0$$
   $$m^2=81$$
   $$m=\pm 9.$$

Ответ

$$\sqrt{(\sqrt a+1)^2-4\sqrt a}+\sqrt{(\sqrt a-2)^2+8\sqrt a}=|\sqrt a-1|+|\sqrt a+2|,$$
при $$a>1$$ это $$2\sqrt a+1$$, при $$0\le a\le 1$$ — $$3$$.

1) $$m=4$$;
2) $$m=0,\,-8$$;
3) $$m=\pm 9$$.