Упр.640 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) корень (9 — 4 корень 5);
2) корень (7 — 2 корень 10);
3) корень (37 — 20 корень 3). Сумма квадратов двух последовательных целых чисел на 17 больше, чем удвоенное большее из них. Найдите эти числа.

1) Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности:

$$9-4\sqrt5=5-4\sqrt5+4=(\sqrt5-2)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{9-4\sqrt5}=\sqrt{(\sqrt5-2)^2}=|\sqrt5-2|=\sqrt5-2,$$

так как $$\sqrt5>2.$$

2) Аналогично:

$$7-2\sqrt{10}=5-2\sqrt{10}+2=(\sqrt5-\sqrt2)^2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt5-\sqrt2)^2}=|\sqrt5-\sqrt2|=\sqrt5-\sqrt2,$$

так как $$\sqrt5>\sqrt2.$$

3) Преобразуем подкоренное выражение:

$$37-20\sqrt3=25-20\sqrt3+12=(5-2\sqrt3)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{37-20\sqrt3}=\sqrt{(5-2\sqrt3)^2}=|5-2\sqrt3|=5-2\sqrt3,$$

так как $$5>2\sqrt3.$$

4) Пусть последовательные целые числа — это $$n$$ и $$n+1.$$ Тогда по условию:

$$n^2+(n+1)^2=2(n+1)+17.$$

Решим уравнение:

$$
n^2+n^2+2n+1=2n+2+17 \\
2n^2+2n+1=2n+19 \\
2n^2-18=0 \\
n^2=9 \\
n=3 \text{ или } n=-3.
$$

Если $$n=3,$$ то числа $$3$$ и $$4.$$

Если $$n=-3,$$ то числа $$-3$$ и $$-2.$$

Ответ

1) $$\sqrt5-2$$; 2) $$\sqrt5-\sqrt2$$; 3) $$5-2\sqrt3$$; 4) $$-3$$ и $$-2$$ или $$3$$ и $$4$$.