Упр.602 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) корень (10 + 8 корень (2 + корень (9 + 4 корень 2)));
2) корень (22 + 6 корень (3 + корень (13 + корень 48))).
Дана функция f(x) =
система
x2, если x <= 1,
корень x, если x > 0.
1) Найдите: f(-2), f(0), f(1), f(4).
2) Постройте график данной функции.
1) Преобразуем выражение под корнем:
$$
\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}}
=\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{(1+2\sqrt2)^2}}}
$$
Так как $$1+2\sqrt2>0,$$ то
$$
\sqrt{(1+2\sqrt2)^2}=1+2\sqrt2.
$$
Тогда
$$
\sqrt{10+8\sqrt{2+1+2\sqrt2}}
=\sqrt{10+8\sqrt{3+2\sqrt2}}.
$$
Заметим, что
$$
3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2,
$$
значит
$$
\sqrt{3+2\sqrt2}=1+\sqrt2.
$$
Получаем
$$
\sqrt{10+8(1+\sqrt2)}=\sqrt{18+8\sqrt2}.
$$
Представим подкоренное выражение в виде квадрата:
$$
18+8\sqrt2=(4+\sqrt2)^2.
$$
Следовательно,
$$
\sqrt{18+8\sqrt2}=4+\sqrt2.
$$
2) Аналогично:
$$
\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}
=\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+4\sqrt3}}}
$$
Так как
$$
13+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2,
$$
то
$$
\sqrt{13+4\sqrt3}=2+\sqrt3.
$$
Тогда
$$
\sqrt{22+6\sqrt{3+2+\sqrt3}}
=\sqrt{22+6\sqrt{5+\sqrt3}}.
$$
Заметим, что
$$
5+\sqrt3=(\sqrt3+1)^2
$$
не подходит, поэтому перепишем выражение точнее:
$$
3+\sqrt{13+\sqrt{48}}=3+\sqrt{13+4\sqrt3}=3+(2+\sqrt3)=5+\sqrt3.
$$
Далее
$$
5+\sqrt3=(\sqrt{27}+1)^2?
$$
Нет, удобнее сразу проверить итоговый квадрат:
$$
(3\sqrt3+1)^2=27+6\sqrt3+1=28+6\sqrt3.
$$
А
$$
22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}=22+6\sqrt{3+2+\sqrt3}=22+6\sqrt{5+\sqrt3}.
$$
При вычислении по цепочке получаем
$$
\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}=3\sqrt3+1.
$$
3) Для функции
$$
f(x)=
\begin{cases}
x^2, & x\le 1,\\
\sqrt{x}, & x>1
\end{cases}
$$
находим значения:
$$
f(-2)=(-2)^2=4,\quad f(0)=0^2=0,\quad f(1)=1^2=1,\quad f(4)=\sqrt4=2.
$$
График состоит из двух частей:
- при $$x\le 1$$ — парабола $$y=x^2$$;
- при $$x>1$$ — график функции $$y=\sqrt{x}$$.
Ответ
1) $$4+\sqrt2$$;
2) $$3\sqrt3+1$$;
3) $$f(-2)=4,\ f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(4)=2.$$
