Упр.599 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1/(корень 2 + 1) + 1/(корень 3 + корень 2) + 1/(корень 4 + корень 3) + 1/(корень 5 + корень 4) + … + 1/(корень 100 + корень 99). Упростите выражение:
1) корень (корень 5 — 4)2;
2) корень (корень 8 — З)2 — корень (корень 2 — 3)2.

Подробный ответ

1) Преобразуем каждую дробь, рационализуя знаменатель:

$$
\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1,
$$
$$
\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2},
$$
$$
\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3},
$$
$$
\ldots
$$
$$
\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}.
$$

Тогда сумма принимает вид:

$$
(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99}).
$$

Все промежуточные слагаемые сокращаются, остаётся:

$$
\sqrt{100}-1=10-1=9.
$$

$$
\sqrt{(\sqrt{5}-4)^2}-\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2}
=|\sqrt{5}-4|-|\sqrt{8}-3|.
$$

Так как $$\sqrt{5}-4<0$$ и $$\sqrt{8}-3<0,$$ то

$$
|\sqrt{5}-4|=4-\sqrt{5}, \qquad |\sqrt{8}-3|=3-\sqrt{8}.
$$

Следовательно,

$$
(4-\sqrt{5})-(3-\sqrt{8})=1-\sqrt{5}+\sqrt{8}.
$$

Учитывая, что $$\sqrt{8}=2\sqrt{2},$$ получаем:

$$
1-\sqrt{5}+2\sqrt{2}.
$$

Но по изображению во втором пункте выражение записано как $$\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2}-\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2},$$ тогда: