Упр.597 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) корень (3 + 2 корень 2);
2) корень (7 + 4 корень 3);
3) корень (11 + 2 корень 30).
Решите графически уравнение:
1) корень x = -х — 1;
2) корень х = 2 — х;
3) корень x = 1/x.

1. Представим подкоренные выражения в виде квадрата суммы:

   $$3+2\sqrt2=2+2\sqrt2+1=(\sqrt2+1)^2,$$
   $$7+4\sqrt3=3+4\sqrt3+4=(\sqrt3+2)^2,$$
   $$11+2\sqrt{30}=6+2\sqrt{30}+5=(\sqrt6+\sqrt5)^2.$$

   Тогда

   $$\sqrt{3+2\sqrt2}=\sqrt2+1,$$
   $$\sqrt{7+4\sqrt3}=\sqrt3+2,$$
   $$\sqrt{11+2\sqrt{30}}=\sqrt6+\sqrt5.$$

2. Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x}=-x-1.$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   При этом $$\sqrt{x}\ge 0,$$ а правая часть при $$x\ge 0$$ не положительна:

   $$-x-1\le -1.$$

   Значит, равенство невозможно. Корней нет.

3. Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x}=2-x.$$

   Область определения и условие неотрицательности правой части:

   $$x\ge 0,\qquad 2-x\ge 0 \Rightarrow x\le 2.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x=(2-x)^2,$$
   $$x=4-4x+x^2,$$
   $$x^2-5x+4=0,$$
   $$\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0.$$

   С учётом условия $$x\le 2$$ подходит только $$x=1.$$

4. Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x}=\frac1x.$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x=\frac1{x^2},$$
   $$x^3=1,$$
   $$x=1.$$

   Проверка: $$\sqrt1=1,\ \frac11=1.$$ Значит, решение верное.

Ответ

1) $$\sqrt2+1,\ \sqrt3+2,\ \sqrt6+\sqrt5$$;
2) корней нет;
3) $$x=1$$;
4) $$x=1$$.