Упр.596 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите графически уравнение:
1) корень x =x;
2) корень x = x2;
3) корень x = x + 2;
4) корень x = 0,5x + 0,5;
5) корень x = 8/x;
6) корень x = 1,5 — 0,5x.

Подробный ответ

$$\sqrt{x}=x$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x=x^2$$
$$x^2-x=0$$
$$x(x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
Оба значения подходят.
$$\sqrt{x}=x^2$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x=x^4$$
$$x^4-x=0$$
$$x(x^3-1)=0$$
$$x(x-1)(x^2+x+1)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=1$$.
$$\sqrt{x}=x+2$$
Область определения: $$x\ge 0$$, при этом правая часть должна быть неотрицательной, значит $$x+2\ge 0$$, что выполняется при $$x\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x=(x+2)^2$$
$$x=x^2+4x+4$$
$$x^2+3x+4=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0$$
Корней нет.
$$\sqrt{x}=0{,}5x+0{,}5$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x=\left(0{,}5x+0{,}5\right)^2$$
$$x=0{,}25x^2+0{,}5x+0{,}25$$
$$0{,}25x^2-0{,}5x+0{,}25=0$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0$$
$$x=1$$
$$\sqrt{x}=\frac{8}{x}$$
Область определения: $$x>0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x=\frac{64}{x^2}$$
$$x^3=64$$
$$x=4$$
Проверка: $$\sqrt{4}=2,\ \frac{8}{4}=2$$.
$$\sqrt{x}=1{,}5-0{,}5x$$
Область определения: $$x\ge 0$$, а также $$1{,}5-0{,}5x\ge 0$$, значит $$x\le 3$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$x=\left(1{,}5-0{,}5x\right)^2$$
$$x=2{,}25-1{,}5x+0{,}25x^2$$
$$0{,}25x^2-2{,}5x+2{,}25=0$$
$$x^2-10x+9=0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-9\right)=0$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=1$$.