Упр.588 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (корень из a-3)/(корень из a+1)-(корень из a-4)/корень из a;
2) (корень из a+1)/(a-корень из ab)-(корень из b+1)/(корень из ab-b);
3) корень из x/(y-2корень из y) : корень из x/(3корень из y-6);
4) (корень из c-5)/корень из c : (c-25)/3c.
Запишите в порядке убывания числа: 8; корень 62; 7,9; корень 65; 8,2.

1. $$\frac{\sqrt a-3}{\sqrt a+1}-\frac{\sqrt a-4}{\sqrt a}$$
   
   Приведём к общему знаменателю $$\sqrt a(\sqrt a+1)$$:
   $$
   \frac{\sqrt a(\sqrt a-3)-(\sqrt a-4)(\sqrt a+1)}{\sqrt a(\sqrt a+1)}
   $$
   Раскроем скобки:
   $$
   \frac{a-3\sqrt a-(a-3\sqrt a-4)}{\sqrt a(\sqrt a+1)}
   =
   \frac{4}{\sqrt a(\sqrt a+1)}
   $$
   Так как $$\sqrt a(\sqrt a+1)=a+\sqrt a,$$ получаем:
   $$
   \frac{4}{a+\sqrt a}
   $$
2. $$
   \frac{\sqrt a+1}{a-\sqrt{ab}}-\frac{\sqrt b+1}{\sqrt{ab}-b}
   $$
   Заметим, что
   $$
   \sqrt{ab}-b=-(b-\sqrt{ab}),
   $$
   поэтому
   $$
   \frac{\sqrt a+1}{a-\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt b+1}{b-\sqrt{ab}}
   $$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$
   \frac{(\sqrt a+1)(b-\sqrt{ab})+(\sqrt b+1)(a-\sqrt{ab})}{(a-\sqrt{ab})(b-\sqrt{ab})}
   $$
   Числитель:
   $$
   b\sqrt a-a\sqrt b+b-\sqrt{ab}+a\sqrt b-b\sqrt a+a-\sqrt{ab}=a+b-2\sqrt{ab}
   $$
   Знаменатель:
   $$
   (a-\sqrt{ab})(b-\sqrt{ab})=ab-a\sqrt{ab}-b\sqrt{ab}+ab
   =2ab-\sqrt{ab}(a+b)
   $$
   Так как
   $$
   a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2,
   $$
   то после сокращения получаем:
   $$
   -\frac{1}{\sqrt{ab}}
   $$
3. $$
   \frac{\sqrt x}{y-2\sqrt y}:\frac{\sqrt x}{3\sqrt y-6}
   =
   \frac{\sqrt x}{y-2\sqrt y}\cdot\frac{3\sqrt y-6}{\sqrt x}
   $$
   Разложим на множители:
   $$
   y-2\sqrt y=\sqrt y(\sqrt y-2), \qquad 3\sqrt y-6=3(\sqrt y-2)
   $$
   Тогда
   $$
   \frac{\sqrt x}{\sqrt y(\sqrt y-2)}\cdot\frac{3(\sqrt y-2)}{\sqrt x}
   =
   \frac{3}{\sqrt y}
   $$
4. $$
   \frac{\sqrt c-5}{\sqrt c}:\frac{c-25}{3c}
   =
   \frac{\sqrt c-5}{\sqrt c}\cdot\frac{3c}{c-25}
   $$
   Разложим разность квадратов:
   $$
   c-25=(\sqrt c-5)(\sqrt c+5)
   $$
   Тогда
   $$
   \frac{\sqrt c-5}{\sqrt c}\cdot\frac{3c}{(\sqrt c-5)(\sqrt c+5)}
   =
   \frac{3c}{\sqrt c(\sqrt c+5)}
   =
   \frac{3\sqrt c}{\sqrt c+5}
   $$

Теперь расположим числа в порядке убывания. Имеем:

$$8=\sqrt{64}, \qquad \sqrt{62}, \qquad 7{,}9=\sqrt{62{,}41}, \qquad \sqrt{65}, \qquad 8{,}2=\sqrt{67{,}24}$$

Значит,
$$8{,}2>\sqrt{65}>8>7{,}9>\sqrt{62}.$$

Ответ

1) $$\frac{4}{a+\sqrt a}$$;
2) $$-\frac{1}{\sqrt{ab}}$$;
3) $$\frac{3}{\sqrt y}$$;
4) $$\frac{3\sqrt c}{\sqrt c+5}$$;
$$8{,}2;\ \sqrt{65};\ 8;\ 7{,}9;\ \sqrt{62}.$$