Упр.574 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) корень 3a2, если a >= 0;
2) корень 5b2, если b <= 0; 3) корень 12a4; 4) корень c3. Упростите выражение: 1) корень (10 + 8 корень (2 + корень (9 + 4 корень 2))); 2) корень (22 + 6 корень (3 + корень (13 + корень 48))).

Подробный ответ

Вынесем множитель из-под знака корня:
$$\sqrt{3a^2}=\sqrt{a^2\cdot 3}=|a|\sqrt{3}.$$
Так как $$a\ge 0,$$ то $$|a|=a,$$ значит
$$\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}.$$
$$\sqrt{5b^2}=\sqrt{b^2\cdot 5}=|b|\sqrt{5}.$$
Так как $$b\le 0,$$ то $$|b|=-b,$$ значит
$$\sqrt{5b^2}=-b\sqrt{5}.$$
$$\sqrt{12a^4}=\sqrt{4a^4\cdot 3}=2a^2\sqrt{3}.$$
$$\sqrt{c^3}=\sqrt{c^2\cdot c}=|c|\sqrt{c}.$$
При $$c\ge 0$$ получаем
$$\sqrt{c^3}=c\sqrt{c}.$$
1)
$$
\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}}
$$
$$\sqrt{9+4\sqrt2}=\sqrt{(1+2\sqrt2)^2}=1+2\sqrt2,$$
$$\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}=\sqrt{3+2\sqrt2}=\sqrt{(1+\sqrt2)^2}=1+\sqrt2.$$
Тогда
$$
\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}}
=\sqrt{10+8(1+\sqrt2)}
=\sqrt{18+8\sqrt2}.
$$
$$18+8\sqrt2=16+2+8\sqrt2=(4+\sqrt2)^2,$$
значит
$$\sqrt{18+8\sqrt2}=4+\sqrt2.$$
2)
$$
\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}
$$
$$\sqrt{48}=4\sqrt3,$$
$$\sqrt{13+\sqrt{48}}=\sqrt{13+4\sqrt3}=\sqrt{12+1+4\sqrt3}=\sqrt{(2+\sqrt3)^2}=2+\sqrt3.$$
Тогда
$$
\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}
=\sqrt{3+(2+\sqrt3)}
=\sqrt{5+\sqrt3}.
$$
Далее
$$
\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}
=\sqrt{22+6(1+\sqrt3)}
=\sqrt{28+6\sqrt3}.
$$
$$28+6\sqrt3=27+1+6\sqrt3=(\sqrt{27}+1)^2=(3\sqrt3+1)^2,$$
следовательно
$$\sqrt{28+6\sqrt3}=3\sqrt3+1.$$