Упр.573 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) (x — 25)/(корень x — 5);
2) (корень a + 2)/(a — 4);
3) (a — 3)/(корень a + корень 3); Докажите, что:
корень 2 * корень (2 + корень 2) * корень (2 + корень (2 + корень 2)) * корень (2 — корень (2 + корень 2)) = 2.
$$\frac{x-25}{\sqrt{x}-5}=\frac{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}{\sqrt{x}-5}=\sqrt{x}+5.$$
$$\frac{\sqrt{a}+2}{a-4}=\frac{\sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}=\frac{1}{\sqrt{a}-2}.$$
$$\frac{a-3}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{3})(\sqrt{a}+\sqrt{3})}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}=\sqrt{a}-\sqrt{3}.$$
$$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}+1.$$
$$\frac{23-\sqrt{23}}{\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{23}(\sqrt{23}-1)}{\sqrt{23}}=\sqrt{23}-1.$$
$$\frac{\sqrt{24}-\sqrt{28}}{\sqrt{54}-\sqrt{63}}=\frac{\sqrt{4}(\sqrt{6}-\sqrt{7})}{\sqrt{9}(\sqrt{6}-\sqrt{7})}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}.$$
$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-2\sqrt{ab}+b}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.$$
$$\frac{b-8\sqrt{b}+16}{\sqrt{b}-4}=\frac{(\sqrt{b}-4)^2}{\sqrt{b}-4}=\sqrt{b}-4.$$
Докажем равенство:
$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2.$$
Сначала перемножим два последних множителя:
$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})}.$$
Тогда
$$\sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})}=\sqrt{4-(2+\sqrt{2})}=\sqrt{2-\sqrt{2}}.$$
Получаем:
$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2.$$
Ответ
1) $$\sqrt{x}+5$$; 2) $$\frac{1}{\sqrt{a}-2}$$; 3) $$\sqrt{a}-\sqrt{3}$$; 4) $$\sqrt{2}+1$$; 5) $$\sqrt{23}-1$$; 6) $$\frac{2}{3}$$; 7) $$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$; 8) $$\sqrt{b}-4$$; доказано, что $$2$$.
