Упр.572 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (a2 — 7)/(a + корень 7);
2) (корень 3 — b)/(3 — b2);
3) (c — 9)/(корень c — 3);
4) (a — b)/(корень a + корень b); Упростите выражение:
1/(корень 3 + 1) + 1/(корень 5 + корень 3) + 1/(корень 7 + корень 5) + … + 1/(корень 91 + корень 89) = (корень 91 — 1)/2.

1. $$\frac{a^2-7}{a+\sqrt7}=\frac{(a-\sqrt7)(a+\sqrt7)}{a+\sqrt7}=a-\sqrt7.$$

2. $$\frac{\sqrt3-b}{3-b^2}=\frac{\sqrt3-b}{(\sqrt3-b)(\sqrt3+b)}=\frac1{\sqrt3+b}.$$

3. $$\frac{c-9}{\sqrt c-3}=\frac{(\sqrt c-3)(\sqrt c+3)}{\sqrt c-3}=\sqrt c+3.$$

4. $$\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a+\sqrt b}=\sqrt a-\sqrt b.$$

5. $$\frac1{\sqrt3+1}+\frac1{\sqrt5+\sqrt3}+\frac1{\sqrt7+\sqrt5}+\dots+\frac1{\sqrt{91}+\sqrt{89}}.$$

   Рационализуем каждый знаменатель:
   $$\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-2}}=\frac{\sqrt n-\sqrt{n-2}}{n-(n-2)}=\frac{\sqrt n-\sqrt{n-2}}2.$$

   Тогда
   $$
   \frac1{\sqrt3+1}+\frac1{\sqrt5+\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{91}+\sqrt{89}}
   =\frac{(\sqrt3-1)+(\sqrt5-\sqrt3)+\cdots+(\sqrt{91}-\sqrt{89})}{2}.
   $$

   Внутри скобок все промежуточные слагаемые сокращаются:
   $$
   \frac{\sqrt{91}-1}{2}.
   $$

Ответ

1) $$a-\sqrt7$$

2) $$\frac1{\sqrt3+b}$$

3) $$\sqrt c+3$$

4) $$\sqrt a-\sqrt b$$

5) $$\frac{\sqrt{91}-1}{2}$$