Упр.571 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 15 — x2;
2) 49×2 — 2;
3) 36р — 64q, если р >= 0, q >= 0;
4) с — 100, если с >= 0;
5) а — 8b корень a + 16b2;
6) m + 2 корень mn + n, если m >= 0, n >= 0;
7) a — 4 корень a + 4;
8) 5 + корень 5;
9) корень 3p — р;
10) корень 12 + корень 32. Упростите выражение:
1/(корень 2 + 1) + 1/(корень 3 + корень 2) + 1/(корень 4 + корень 3) + 1/(корень 5 + корень 4) + … + 1/(корень 100 + корень 99).

1. $$15-x^2=(\sqrt{15}-x)(\sqrt{15}+x).$$
2. $$49x^2-2=(7x-\sqrt2)(7x+\sqrt2).$$
3. При $$p\ge 0,\ q\ge 0$$:
   $$36p-64q=(6\sqrt p)^2-(8\sqrt q)^2=(6\sqrt p-8\sqrt q)(6\sqrt p+8\sqrt q).$$
4. При $$c\ge 0$$:
   $$c-100=(\sqrt c)^2-10^2=(\sqrt c-10)(\sqrt c+10).$$
5. $$a-8b\sqrt a+16b^2=(\sqrt a)^2-2\cdot \sqrt a\cdot 4b+(4b)^2=(\sqrt a-4b)^2.$$
6. При $$m\ge 0,\ n\ge 0$$:
   $$m+2\sqrt{mn}+n=(\sqrt m)^2+2\sqrt m\sqrt n+(\sqrt n)^2=(\sqrt m+\sqrt n)^2.$$
7. $$a-4\sqrt a+4=(\sqrt a)^2-2\cdot \sqrt a\cdot 2+2^2=(\sqrt a-2)^2.$$
8. $$5+\sqrt5=\sqrt5(\sqrt5+1).$$
9. $$\sqrt{3p}-p=\sqrt p\sqrt3-(\sqrt p)^2=\sqrt p(\sqrt3-\sqrt p).$$
10. $$\sqrt{12}+\sqrt{32}=2\sqrt3+4\sqrt2=2(\sqrt3+2\sqrt2).$$

Упростим сумму:

$$
\frac1{\sqrt2+1}+\frac1{\sqrt3+\sqrt2}+\frac1{\sqrt4+\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{100}+\sqrt{99}}
$$

Рационализуем знаменатель каждого слагаемого:

$$
\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt n-\sqrt{n-1}}{(\sqrt n+\sqrt{n-1})(\sqrt n-\sqrt{n-1})}
=\sqrt n-\sqrt{n-1}.
$$

Тогда

$$
(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+(\sqrt4-\sqrt3)+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})= \sqrt{100}-1=10-1=9.
$$

Ответ

1) $$\left(\sqrt{15}-x\right)\left(\sqrt{15}+x\right);$$
2) $$\left(7x-\sqrt2\right)\left(7x+\sqrt2\right);$$
3) $$\left(6\sqrt p-8\sqrt q\right)\left(6\sqrt p+8\sqrt q\right);$$
4) $$\left(\sqrt c-10\right)\left(\sqrt c+10\right);$$
5) $$\left(\sqrt a-4b\right)^2;$$
6) $$\left(\sqrt m+\sqrt n\right)^2;$$
7) $$\left(\sqrt a-2\right)^2;$$
8) $$\sqrt5(\sqrt5+1);$$
9) $$\sqrt p(\sqrt3-\sqrt p);$$
10) $$2(\sqrt3+2\sqrt2);$$
11) $$9.$$