Упр.57 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) y = |x|/x;
2) y = (x2-1)/(|x|-1).

Подробный ответ

1) Рассмотрим функцию

$$y=\frac{|x|}{x}.$$

Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$y=\frac{x}{x}=1.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$y=\frac{-x}{x}=-1.$$

При $$x=0$$ функция не определена.

Следовательно,

$$
y=
\begin{cases}
1, & x>0,\\
-1, & x<0.
\end{cases}
$$

График состоит из двух горизонтальных лучей: $$y=1$$ при $$x>0$$ и $$y=-1$$ при $$x<0,$$ точки $$x=0$$ на графике нет.

2) Рассмотрим функцию

$$y=\frac{x^2-1}{|x|-1}.$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2-1=(x-1)(x+1).$$

Тогда

$$y=\frac{(x-1)(x+1)}{|x|-1}, \qquad |x|\ne 1.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и

$$y=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1, \qquad x\ne 1.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

$$y=\frac{x^2-1}{-x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{-(x+1)}=1-x, \qquad x\ne -1.$$

Итак,

$$
y=
\begin{cases}
x+1, & x>0,\ x\ne 1,\\
1-x, & x<0,\ x\ne -1.
\end{cases}
$$

График состоит из двух лучей прямых $$y=x+1$$ и $$y=1-x,$$ при этом точки $$x=1$$ и $$x=-1$$ исключены, поэтому на графике есть выколотые точки $$\left(1,2\right)$$ и $$\left(-1,2\right).$$