Упр.546 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

((a2-5a)/(a2-10a+25) + 25/(a2-25)) : (125-a3)/(5+a)
при а = 4,5. Сократите дробь:
1) (a2 — 7)/(a + корень 7);
2) (корень 3 — b)/(3 — b2);
3) (c — 9)/(корень c — 3);
4) (a — b)/(корень a + корень b);

Упростим выражение:

$$
\left(\frac{a^2-5a}{a^2-10a+25}+\frac{25}{a^2-25}\right):\frac{125-a^3}{5+a}
$$
при $$a=4{,}5$$.

Разложим на множители:

$$
a^2-10a+25=(a-5)^2,\qquad a^2-25=(a-5)(a+5),\qquad 125-a^3=(5-a)(25+5a+a^2).
$$

Тогда

$$
\left(\frac{a^2-5a}{(a-5)^2}+\frac{25}{(a-5)(a+5)}\right):\frac{125-a^3}{a+5}
$$

$$
=\left(\frac{a(a-5)}{(a-5)^2}+\frac{25}{(a-5)(a+5)}\right)\cdot \frac{a+5}{125-a^3}
$$

$$
=\left(\frac{a}{a-5}+\frac{25}{(a-5)(a+5)}\right)\cdot \frac{a+5}{125-a^3}
$$

$$
=\frac{a(a+5)+25}{(a-5)(a+5)}\cdot \frac{1}{125-a^3}
=\frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)}\cdot \frac{1}{125-a^3}.
$$

Так как

$$
125-a^3=(5-a)(a^2+5a+25)=-(a-5)(a^2+5a+25),
$$

то

$$
\frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)}\cdot \frac{1}{125-a^3}
=
\frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)}\cdot \frac{-1}{(a-5)(a^2+5a+25)}
=
-\frac{1}{(a-5)^2}.
$$

Подставим $$a=4{,}5$$:

$$
-\frac{1}{(4{,}5-5)^2}
=
-\frac{1}{(-0{,}5)^2}
=
-\frac{1}{0{,}25}
=-4.
$$

Ответ

$$-4$$

Сократим дроби:

1. $$
   \frac{a^2-7}{a+\sqrt7}
   $$

   Так как $$a^2-7$$ не раскладывается на множители через $$a+\sqrt7$$, сокращение невозможно без дополнительного условия. Если в задании имелось в виду $$a^2-7=(a-\sqrt7)(a+\sqrt7)$$, то тогда
   $$
   \frac{a^2-7}{a+\sqrt7}=a-\sqrt7.
   $$

2. $$
   \frac{\sqrt3-b}{3-b^2}
   =
   \frac{\sqrt3-b}{(\sqrt3-b)(\sqrt3+b)}
   =
   \frac{1}{\sqrt3+b}.
   $$

3. $$
   \frac{c-9}{\sqrt c-3}
   =
   \frac{(\sqrt c-3)(\sqrt c+3)}{\sqrt c-3}
   =
   \sqrt c+3.
   $$

4. $$
   \frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}
   =
   \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a+\sqrt b}
   =
   \sqrt a-\sqrt b.
   $$