Упр.541 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) корень a10 = a5;
2) корень a10 = -a5;
3) корень a2 = (корень a)2;
4) корень a2 = (корень -a)2? Найдите значение выражения:
1) (3 + корень 5)2 — 6 корень 5;
2) (корень 12 — 2 корень 2)2 + 8 корень 6.

Подробный ответ

1) Для корня квадратного всегда $$\sqrt{a^{10}}=|a^5|.$$

Чтобы выполнялось равенство $$\sqrt{a^{10}}=a^5,$$ нужно, чтобы $$a^5 \ge 0,$$ то есть $$a \ge 0.$$

Чтобы выполнялось равенство $$\sqrt{a^{10}}=-a^5,$$ нужно, чтобы $$a^5 \le 0,$$ то есть $$a \le 0.$$

2) Так как $$\sqrt{a^2}=|a|,$$ а $$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$ при $$a \ge 0,$$ то равенство $$\sqrt{a^2}=\left(\sqrt{a}\right)^2$$ выполняется при $$a \ge 0.$$

Аналогично, $$\sqrt{a^2}=|a|,$$ а $$\left(\sqrt{-a}\right)^2=-a$$ при $$a \le 0,$$ значит равенство $$\sqrt{a^2}=\left(\sqrt{-a}\right)^2$$ выполняется при $$a \le 0.$$

3) Вычислим значение выражения:

$$
(3+\sqrt{5})^2-6\sqrt{5}=9+6\sqrt{5}+5-6\sqrt{5}=14.
$$

4) Вычислим значение выражения:

$$
(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2+8\sqrt{6}
=12-2\cdot \sqrt{12}\cdot 2\sqrt{2}+4\cdot 2+8\sqrt{6}.
$$

Так как $$\sqrt{12}=2\sqrt{3},$$ то

$$
2\cdot \sqrt{12}\cdot 2\sqrt{2}=2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}=8\sqrt{6}.
$$

Тогда

$$
(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2+8\sqrt{6}
=12-8\sqrt{6}+8+8\sqrt{6}=20.
$$