Упр.54 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Существует ли такое значение а, при котором дробь (a3-a2-a+1)/(a3+a2+a+1) принимает отрицательное значение? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak8 54 827

Подробный ответ

Преобразуем дробь:

$$
\frac{a^3-a^2-a+1}{a^3+a^2+a+1}
=
\frac{a^2(a-1)-(a-1)}{a^2(a+1)+(a+1)}
=
\frac{(a-1)(a^2-1)}{(a+1)(a^2+1)}
$$

Так как $$a^2-1=(a-1)(a+1),$$ получаем

$$
\frac{(a-1)(a^2-1)}{(a+1)(a^2+1)}
=
\frac{(a-1)^2(a+1)}{(a+1)(a^2+1)}
=
\frac{(a-1)^2}{a^2+1}
$$

При любом значении $$a$$ числитель неотрицателен, так как $$ (a-1)^2 \ge 0,$$ а знаменатель положителен, так как $$a^2+1>0.$$

Значит, дробь не может принимать отрицательное значение.