Упр.509 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Найдите значение выражения:
1) корень (6,8^2 — 3,2^2);
2) корень (98,5^2 — 97,5^2);
3) корень (98/(228^2 — 164^2)).

Пусть сумма рационального и иррационального чисел равна рациональному числу. Тогда можно записать:

$$a+b=r,$$

где $$a$$ — рациональное число, $$b$$ — иррациональное, $$r$$ — рациональное.

Тогда

$$b=r-a.$$

Правая часть — разность рациональных чисел, значит, число $$b$$ рационально. Получили противоречие с тем, что $$b$$ — иррациональное число. Следовательно, сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.

1)

$$\sqrt{6{,}8^2-3{,}2^2}=\sqrt{(6{,}8-3{,}2)(6{,}8+3{,}2)}=\sqrt{3{,}6\cdot 10}=\sqrt{36}=6.$$

2)

$$\sqrt{98{,}5^2-97{,}5^2}=\sqrt{(98{,}5-97{,}5)(98{,}5+97{,}5)}=\sqrt{1\cdot 196}=\sqrt{196}=14.$$

3)

$$\sqrt{\frac{98}{228^2-164^2}}=\sqrt{\frac{98}{(228-164)(228+164)}}=\sqrt{\frac{98}{64\cdot 392}}.$$

Так как $$98=2\cdot 49$$, а $$64\cdot 392=64\cdot 4\cdot 98$$, то

$$\sqrt{\frac{98}{64\cdot 392}}=\sqrt{\frac{1}{64\cdot 4}}=\sqrt{\frac{1}{256}}=\frac{1}{16}.$$

Ответ

Сумма рационального и иррационального чисел — иррациональное число; 1) $$6$$; 2) $$14$$; 3) $$\frac{1}{16}$$.