Упр.508 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) корень (41^2 — 40^2);
2) корень (145^2 — 144^2);
3) корень (8,5^2 — 7,5^2);
4) корень (21,8^2 — 18,2^2);
5) корень ((155^2 — 134^2)/84);
6) корень ((139^2 — 86^2)/(98,5^2 — 45,5^2)).

Пусть даны два рациональных числа $$\frac{c}{d}$$ и $$\frac{a}{b}$$, где $$c$$ и $$a$$ — целые числа, а $$b$$ и $$d$$ — натуральные.

Тогда

$$\frac{c}{d}+\frac{a}{b}=\frac{bc+ad}{bd},$$

где $$bc+ad$$ — целое число, а $$bd$$ — натуральное. Значит, сумма рациональных чисел — рациональное число.

Аналогично доказывается, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел (при делении на ненулевое число) также являются рациональными числами.

Найдём значения выражений:

1. $$\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{(41-40)(41+40)}=\sqrt{1\cdot 81}=9.$$

2. $$\sqrt{145^2-144^2}=\sqrt{(145-144)(145+144)}=\sqrt{1\cdot 289}=17.$$

3. $$\sqrt{8{,}5^2-7{,}5^2}=\sqrt{(8{,}5-7{,}5)(8{,}5+7{,}5)}=\sqrt{1\cdot 16}=4.$$

4. $$\sqrt{21{,}8^2-18{,}2^2}=\sqrt{(21{,}8-18{,}2)(21{,}8+18{,}2)}=\sqrt{3{,}6\cdot 40}=\sqrt{144}=12.$$

5. $$\sqrt{\frac{155^2-134^2}{84}}=\sqrt{\frac{(155-134)(155+134)}{84}}=\sqrt{\frac{21\cdot 289}{84}}=\sqrt{\frac{289}{4}}=\frac{17}{2}=8{,}5.$$

6. $$\sqrt{\frac{139^2-86^2}{98{,}5^2-45{,}5^2}}=\sqrt{\frac{(139-86)(139+86)}{(98{,}5-45{,}5)(98{,}5+45{,}5)}}=\sqrt{\frac{53\cdot 225}{53\cdot 144}}=\sqrt{\frac{225}{144}}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}.$$

Ответ

Сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами.

1) $$9$$; 2) $$17$$; 3) $$4$$; 4) $$12$$; 5) $$8{,}5$$; 6) $$1\frac{1}{4}$$.