Упр.484 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

f(x) = 5/(x^2 — 4x) + 7/(x^2 — 16). Верно ли, что:
1) сумма любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;
2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;
3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является числом иррациональным?

Подробный ответ

Найдём область определения функции

$$f(x)=\frac{5}{x^2-4x}+\frac{7}{x^2-16}.$$

Знаменатели не должны обращаться в нуль:

$$x^2-4x\ne 0,$$

$$x^2-16\ne 0.$$

Разложим на множители:

$$x(x-4)\ne 0,$$

$$ (x-4)(x+4)\ne 0.$$

Отсюда

$$x\ne 0,\quad x\ne 4,\quad x\ne -4.$$

Значит, область определения функции:

$$(-\infty;-4)\cup(-4;0)\cup(0;4)\cup(4;+\infty).$$

Проверим утверждения.

Сумма любых двух иррациональных чисел не всегда иррациональна. Например,
$$\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0.$$
Число $0$ рациональное, значит, утверждение неверно.
Произведение любых двух иррациональных чисел не всегда иррационально. Например,
$$\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5.$$
Число $5$ рациональное, значит, утверждение неверно.
Произведение любого иррационального числа и любого рационального числа не всегда иррационально. Например,
$$\sqrt{5}\cdot 0=0.$$
Число $0$ рациональное, значит, утверждение неверно.