Упр.483 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x) = x/(x^2 — 10x + 25) — x/(x^2 + 4x + 4);
2) f(x) = 1/(x^2 — 1) + 1/(x^2 — 4). Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел является числом иррациональным.

Подробный ответ

1) Найдём область определения функции

$$f(x)=\frac{x}{x^2-10x+25}-\frac{x}{x^2+4x+4}.$$

Знаменатели не должны обращаться в нуль:

$$x^2-10x+25\ne 0,\qquad x^2+4x+4\ne 0.$$

Разложим на множители:

$$
x^2-10x+25=(x-5)^2,\qquad x^2+4x+4=(x+2)^2.
$$

Тогда

$$x\ne 5,\qquad x\ne -2.$$

Следовательно,

$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;5)\cup(5;+\infty).$$

2) Найдём область определения функции

$$f(x)=\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-4}.$$

Знаменатели не должны быть равны нулю:

$$x^2-1\ne 0,\qquad x^2-4\ne 0.$$

Отсюда

$$x\ne -1,\qquad x\ne 1,\qquad x\ne -2,\qquad x\ne 2.$$

Значит,

$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;-1)\cup(-1;1)\cup(1;2)\cup(2;+\infty).$$

Докажем, что сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.

Предположим противное: пусть $$r$$ — рациональное число, $$x$$ — иррациональное число, а их сумма $$r+x$$ — рациональное число. Обозначим

$$r+x=q,$$

где $$q$$ — рациональное число. Тогда

$$x=q-r.$$

Но разность двух рациональных чисел — рациональное число, значит, $$x$$ тоже рационально. Получили противоречие с тем, что $$x$$ — иррациональное число.

Следовательно, сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.