Упр.482 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Какие фигуры могут быть объединением двух лучей, лежащих на одной прямой? Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами.
Объединением двух лучей, лежащих на одной прямой, могут быть:
- прямая, если лучи направлены в разные стороны;
- луч, если один луч является частью другого.
Докажем, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами.
Пусть даны два рациональных числа $$\frac{c}{d}$$ и $$\frac{a}{b}$$, где $$a, b, c, d$$ — целые числа, $$b \ne 0$$, $$d \ne 0$$.
Тогда
$$
\frac{c}{d}+\frac{a}{b}=\frac{bc+ad}{bd}.
$$
Числитель $$bc+ad$$ — целое число, знаменатель $$bd$$ — ненулевое целое число. Значит, $$\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$$ — рациональное число.
Аналогично:
$$
\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{bc-ad}{bd},
$$
$$
\frac{c}{d}\cdot\frac{a}{b}=\frac{ac}{bd}.
$$
Если $$a \ne 0$$ и $$c \ne 0$$, то
$$
\frac{c}{d}:\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\cdot\frac{b}{a}=\frac{bc}{ad}.
$$
Во всех случаях получаем отношение целых чисел с ненулевым знаменателем, значит, результат является рациональным числом.
Ответ
Объединением двух лучей, лежащих на одной прямой, могут быть прямая или луч. Сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами.
