Упр.467 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) [-1; 7] и [4; 9]; 4) (-бесконечность; 2,6) и (2,8; +бесконечность);
2) [3; 6] и (3; 8); 5) [9; +бесконечность) и [11,5; +бесконечность);
3) (-бесконечность; 3,4) и (2,5; +бесконечность); 6) (-бесконечность; -4,2] и (-бесконечность; -1,3). Попарно различные числа а, b, с удовлетворяют условию a2(b + c) = b2(c + a). Докажите, что a2(b + c) = c2(а + b).
$$[-1;7]\cap[4;9]=[4;7]$$
$$[-1;7]\cup[4;9]=[-1;9]$$
$$[3;6]\cap(3;8)=(3;6]$$
$$[3;6]\cup(3;8)=[3;8)$$
$$(-\infty;3{,}4)\cap(2{,}5;+\infty)=(2{,}5;3{,}4)$$
$$(-\infty;3{,}4)\cup(2{,}5;+\infty)=(-\infty;+\infty)$$
$$(-\infty;2{,}6)\cap(2{,}8;+\infty)=\varnothing$$
$$(-\infty;2{,}6)\cup(2{,}8;+\infty)=(-\infty;2{,}6)\cup(2{,}8;+\infty)$$
$$[9;+\infty)\cap[11{,}5;+\infty)=[11{,}5;+\infty)$$
$$[9;+\infty)\cup[11{,}5;+\infty)=[9;+\infty)$$
$$(-\infty;-4{,}2]\cap(-\infty;-1{,}3]=(-\infty;-4{,}2]$$
$$(-\infty;-4{,}2]\cup(-\infty;-1{,}3]=(-\infty;-1{,}3]$$
Пусть $$a^2(b+c)=b^2(c+a)$$. Тогда
$$
a^2b+a^2c=b^2c+ab^2
$$
$$
a^2b-ab^2+a^2c-b^2c=0
$$
$$
ab(a-b)+c(a^2-b^2)=0
$$
$$
ab(a-b)+c(a-b)(a+b)=0
$$
$$
(a-b)(ab+ac+bc)=0
$$
Так как числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ попарно различны, то $$a-b\ne 0$$. Значит,
$$ab+ac+bc=0.$$
Теперь рассмотрим выражение $$a^2(b+c)$$:
$$
a^2(b+c)=a(ab+ac)=a(-ac-bc)=-a^2c-abc
$$
и выражение $$c^2(a+b)$$:
$$
c^2(a+b)=c(ac+bc)=c(-ab-ac)=-abc-a c^2
$$
Но удобнее сразу преобразовать второе равенство:
$$
a^2(b+c)=c^2(a+b)
$$
$$
a^2b+a^2c=ac^2+bc^2
$$
$$
a^2b-bc^2+a^2c-ac^2=0
$$
$$
b(a^2-c^2)+ac(a-c)=0
$$
$$
b(a-c)(a+c)+ac(a-c)=0
$$
$$
(a-c)(ab+bc+ac)=0
$$
Так как $$a-c\ne 0$$, получаем
$$ab+bc+ac=0.$$
Следовательно, из первого равенства действительно следует второе:
$$a^2(b+c)=c^2(a+b).$$
Ответ
1) $$[4;7]$$, $$[-1;9]$$; 2) $$(3;6]$$, $$[3;8)$$; 3) $$(2{,}5;3{,}4)$$, $$(-\infty;+\infty)$$; 4) $$\varnothing$$, $$(-\infty;2{,}6)\cup(2{,}8;+\infty)$$; 5) $$[11{,}5;+\infty)$$, $$[9;+\infty)$$; 6) $$(-\infty;-4{,}2]$$, $$(-\infty;-1{,}3]$$. Кроме того, $$a^2(b+c)=c^2(a+b)$$.
