Упр.458 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) {а} принадлежит {а, b};
2) {a} включено в {а, b};
3) а включено в {а, b};
4) {а, b} принадлежит {а, b}?
Опишите на языке «необходимо и достаточно» принадлежность элемента х множествам:
1) А и В (рис. 25, а);
2) А, В и С (рис. 25, б, в).

Подробный ответ

1) Проверим утверждения:

$$\{a\}\in\{a,b\}$$
— верно, так как элементами множества $$\{a,b\}$$ являются $$a$$ и $$b$$, а в левой части стоит элемент $$\{a\}$$.

$$\{a\}\subset \{a,b\}$$
— верно, потому что единственный элемент множества $$\{a\}$$, то есть $$a$$, принадлежит множеству $$\{a,b\}$$.

$$a\subset \{a,b\}$$
— неверно, так как $$a$$ — это элемент, а не множество.

$$\{a,b\}\in\{a,b\}$$
— неверно, потому что элементами множества $$\{a,b\}$$ являются только $$a$$ и $$b$$, а не само множество $$\{a,b\}$$.

2) Для принадлежности элемента $$x$$ нескольким множествам используем условие пересечения: элемент должен принадлежать всем указанным множествам одновременно.

Для рисунка 25, а:

$$x\in A \text{ и } x\in B$$
необходимо и достаточно, чтобы $$x\in A$$.

Для рисунка 25, б:

$$x\in A,\ x\in B,\ x\in C$$
необходимо и достаточно, чтобы $$x\in C$$.

Для рисунка 25, в:

$$x\in A,\ x\in B,\ x\in C$$
необходимо и достаточно, чтобы $$x\in B$$ и $$x\in C$$.