Упр.449 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Найдите все трехзначные натуральные числа n такие, что сумма цифр числа n в 11 раз меньше самого числа n. Докажите, что если А включено в В и В включено в С, то А включено в С.

Подробный ответ

Пусть $$n=\overline{abc}$$ — трёхзначное натуральное число. Тогда

$$n=100a+10b+c,$$

а сумма его цифр равна $$a+b+c.$$ По условию эта сумма в 11 раз меньше самого числа, значит

$$11(a+b+c)=100a+10b+c.$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$11a+11b+11c-100a-10b-c=0,$$

$$-89a+b+10c=0,$$

$$89a=b+10c.$$

Число $$b+10c$$ — двузначное, поэтому $$a=1$$, так как при $$a\ge 2$$ левая часть была бы не меньше $$178$$, что невозможно для двузначного числа.

Тогда

$$b+10c=89.$$

Подбираем цифры $$b$$ и $$c$$:

$$c=8,\quad b=9.$$

Следовательно, искомое число:

$$n=198.$$

Проверка:

$$1+9+8=18,\qquad 198:18=11.$$

Значит, сумма цифр числа $$198$$ в 11 раз меньше самого числа.

Докажем, что если $$A \subset B$$ и $$B \subset C,$$ то $$A \subset C.$$

Пусть $$x \in A.$$ Тогда из $$A \subset B$$ следует, что $$x \in B.$$ А из $$B \subset C$$ следует, что $$x \in C.$$ Значит, каждый элемент множества $$A$$ принадлежит множеству $$C,$$ то есть $$A \subset C.$$