Упр.437 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: При каких значениях а уравнение (корень х — 1)(x-a) = 0 имеет только один корень? Петя и Коля ежедневно записывают по одному числу. В первый день каждый из мальчиков записал число 1. В каждый последующий день Петя записывает число 1, а Коля — число, равное сумме чисел, записанных мальчиками за предыдущие дни. Может ли в какой-то день Коля записать число, оканчивающееся на 101? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak8 437 827

Подробный ответ

1) Рассмотрим уравнение

$$\left(\sqrt{x}-1\right)(x-a)=0.$$

Чтобы уравнение имело только один корень, нужно, чтобы один из множителей давал единственный допустимый корень, а второй не давал нового корня.

Из первого множителя получаем:

$$\sqrt{x}-1=0 \Rightarrow \sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1.$$

Из второго множителя:

$$x-a=0 \Rightarrow x=a.$$

Так как при $$x=1$$ условие $$x\ge 0$$ выполнено, то корень $$x=1$$ всегда подходит.

Чтобы корень был только один, нужно, чтобы либо $$a=1$$, тогда оба множителя дают один и тот же корень, либо второй корень не существовал в области допустимых значений, то есть $$a<0$$.

Следовательно, уравнение имеет ровно один корень при $$a=1$$ или $$a<0$$.

2) Пусть в первый день Петя и Коля записали по $$1$$. Тогда сумма чисел, записанных за предыдущие дни, в первый день равна $$1+1=2$$. Значит, во второй день Коля запишет $$2$$. Далее каждый раз число Коли равно сумме всех предыдущих чисел, записанных мальчиками, то есть оно увеличивается на $$1$$ по сравнению с предыдущим днём.

Значит, числа Коли образуют последовательность:

$$1,\,2,\,3,\,4,\,\dots$$

Чтобы в какой-то день Коля записал число, оканчивающееся на $$101$$, это число должно оканчиваться на последние три цифры $$101$$. Но числа Коли увеличиваются на $$1$$, поэтому среди них встречаются все натуральные числа подряд. Следовательно, число, оканчивающееся на $$101$$, он записать может.