Упр.432 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) корень x + корень -x = 0;
2) корень x + корень -x = 1;
3) корень (x2-2x+1) + корень (x2-1) = 0;
4) (x-2) корень (x-3) = 0. Равны ли множества A и B, если:
1) A — множество корней уравнения |х| = х, B — множество неотрицательных чисел;
2) A — множество четырёхугольников, у которых противоположные стороны попарно равны; В — множество четырёхугольников, у которых диагонали точкой пересечения делятся пополам?

Подробный ответ

$$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=0$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$ и $$\sqrt{-x}\ge 0$$, то сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:
$$\sqrt{x}=0,\quad \sqrt{-x}=0$$
$$x=0$$
$$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=1$$
Область определения:
$$x\ge 0,\quad -x\ge 0$$
Отсюда $$x=0$$. Тогда левая часть равна $$0$$, а не $$1$$. Следовательно, корней нет.
$$\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-1}=0$$
Обе радикальные части неотрицательны, значит каждая из них должна быть равна нулю:
$$\sqrt{x^2-2x+1}=0,\quad \sqrt{x^2-1}=0$$
$$x^2-2x+1=0,\quad x^2-1=0$$
$$ (x-1)^2=0,\quad (x-1)(x+1)=0$$
Из первого уравнения получаем $$x=1$$, из второго — $$x=\pm 1$$. Общий корень:
$$x=1$$
$$ (x-2)\sqrt{x-3}=0$$
Область определения:
$$x-3\ge 0,\quad x\ge 3$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$x-2=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x-3}=0$$
Из первого уравнения $$x=2$$, но это не подходит по ОДЗ. Из второго:
$$x-3=0,\quad x=3$$
$$A$$ — множество корней уравнения $$|x|=x$$, $$B$$ — множество неотрицательных чисел.
Уравнение $$|x|=x$$ выполняется при $$x\ge 0$$, значит
$$A=B$$
$$A$$ — множество четырёхугольников, у которых противоположные стороны попарно равны, $$B$$ — множество четырёхугольников, у которых диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Не каждый четырёхугольник из множества $$A$$ принадлежит множеству $$B$$ и наоборот, поэтому
$$A\ne B$$