Упр.431 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) корень x = -х;
2) корень x + корень (x-1) = 0;
3) корень (x2-x) + корень (x-1) = 0;
4) корень (x2+2x) + корень (x2-4) =0;
5) (х-1) корень (x+1) = 0;
6) (x+1) корень (x-1) = 0. Равны ли множества A и B, если:
1) A = {1,2}, B = {2,1};
2) A = {(1,0)}, B = {(0,1)};
3) A = {1}, B = {{1}}.

Подробный ответ

$$\sqrt{x}=-x$$

Возведём обе части в квадрат:
$$x=x^2$$

С учётом области допустимых значений $$x\ge 0$$ получаем:
$$x(x-1)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=1$$

Проверка: при $$x=1$$ имеем $$\sqrt{1}=1 \ne -1$$, значит не подходит.

Ответ: $$x=0$$
$$\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=0$$

Левая часть — сумма неотрицательных чисел, поэтому она равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:
$$\sqrt{x}=0,\quad \sqrt{x-1}=0$$

Отсюда
$$x=0,\quad x=1$$

Одновременно эти равенства выполниться не могут. Следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет
$$\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x-1}=0$$

Сумма неотрицательных чисел равна нулю только при равенстве каждого из них нулю:
$$\sqrt{x^2-x}=0,\quad \sqrt{x-1}=0$$

Тогда
$$x^2-x=0,\quad x-1=0$$

Из второго уравнения получаем $$x=1$$. Проверим:
$$1^2-1=0$$

Значит, $$x=1$$.

Ответ: $$x=1$$
$$\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-4}=0$$

Тогда
$$\sqrt{x^2+2x}=0,\quad \sqrt{x^2-4}=0$$

Получаем систему:
$$
\begin{cases}
x^2+2x=0,\\
x^2-4=0
\end{cases}
$$

Из первого уравнения:
$$x(x+2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-2$$

Из второго:
$$x=\pm 2$$

Общий корень — $$x=-2$$.

Ответ: $$x=-2$$
$$(x-1)\sqrt{x+1}=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$
\begin{cases}
x-1=0, \\
\sqrt{x+1}=0
\end{cases}
$$

Тогда
$$x=1$$
или
$$x+1=0 \Rightarrow x=-1$$

Оба значения удовлетворяют области определения $$x\ge -1$$.

Ответ: $$x=-1,\ 1$$
$$(x+1)\sqrt{x-1}=0$$

Тогда
$$
\begin{cases}
x+1=0, \\
\sqrt{x-1}=0
\end{cases}
$$

Получаем
$$x=-1$$
или
$$x-1=0 \Rightarrow x=1$$

Но при $$x=-1$$ корень $$\sqrt{x-1}$$ не определён, так как $$x\ge 1$$. Значит, это значение не подходит.

Ответ: $$x=1$$