Упр.428 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) корень (х2-4х+4);
2) корень (x2-4x+5)? Запишите мпожество корней уравнения:
1) х (х — 1) = 0;
2) (х — 2) (х2 — 4) = 0;
3) х = 2;
4) х2 + 3 = 0.

1) Рассмотрим выражение $$\sqrt{x^2-4x+4}.$$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$x^2-4x+4=(x-2)^2.$$

Так как $$ (x-2)^2 \ge 0 $$ при любом $$x$$, то выражение $$\sqrt{(x-2)^2}$$ имеет смысл при любом значении $$x$$.

2) Рассмотрим выражение $$\sqrt{x^2-4x+5}.$$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1.$$

Так как $$ (x-2)^2 \ge 0 $$, то

$$ (x-2)^2+1 \ge 1 > 0.$$

Значит, выражение имеет смысл при любом значении $$x$$.

Теперь запишем множества корней уравнений.

1) $$x(x-1)=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$x=0 \quad \text{или} \quad x-1=0.$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=1$$. Множество корней: $$\{0,1\}.$$

2) $$(x-2)(x^2-4)=0$$

Разложим второй множитель:

$$x^2-4=(x-2)(x+2).$$

Тогда

$$ (x-2)(x^2-4)=(x-2)^2(x+2)=0.$$

Следовательно,

$$x-2=0 \quad \text{или} \quad x+2=0.$$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=-2$$. Множество корней: $$\{-2,2\}.$$

3) $$x=2$$

Множество корней: $$\{2\}.$$

4) $$x^2+3=0$$

Так как для любого действительного $$x$$ имеем $$x^2 \ge 0$$, то $$x^2+3>0$$. Значит, действительных корней нет.

Множество корней: $$\varnothing.$$

Ответ

Выражение имеет смысл при любом значении $$x$$ в обоих случаях.

Множества корней:

1) $$\{0,1\}$$; 2) $$\{-2,2\}$$; 3) $$\{2\}$$; 4) $$\varnothing$$.