Упр.419 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) корень x;
2) корень -x;
3) корень x2;
4) корень -x2;
5) корень (x-8);
6) корень (8-x);
7) корень (x2+8);
8) корень (x-8)2;
9) 1/ корень (x-8)2;
10) 1/ (корень x — 3);
11) 1/ (корень x + 3);
12) корень x * корень (-x);
13) 1/(корень x * корень -x);
14) корень |x|;
15) корень -|x|;
16) 1/корень |x|? Упростите выражение:
(a/(a2-25) + 5/(5-a) + 1/(a+5)) : ((28-a2)/(a+5) + a — 5).

1. $$\sqrt{x}$$
   
   Подкоренное выражение неотрицательно:
   $$x \ge 0.$$
2. $$\sqrt{-x}$$
   
   $$-x \ge 0 \Rightarrow x \le 0.$$
3. $$\sqrt{x^2}$$
   
   Так как $$x^2 \ge 0$$ при любом $$x$$, выражение имеет смысл при любом $$x$$.
4. $$\sqrt{-x^2}$$
   
   $$-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 0 \Rightarrow x=0.$$
5. $$\sqrt{x-8}$$
   
   $$x-8 \ge 0 \Rightarrow x \ge 8.$$
6. $$\sqrt{8-x}$$
   
   $$8-x \ge 0 \Rightarrow x \le 8.$$
7. $$\sqrt{x^2+8}$$
   
   Так как $$x^2+8>0$$ при любом $$x$$, выражение имеет смысл при любом $$x$$.
8. $$\sqrt{(x-8)^2}$$
   
   Квадрат любого числа неотрицателен, значит выражение имеет смысл при любом $$x$$.
9. $$\frac{1}{\sqrt{(x-8)^2}}$$
   
   $$\sqrt{(x-8)^2}=|x-8|,$$
   поэтому знаменатель не должен быть равен нулю:
   $$|x-8| \ne 0 \Rightarrow x \ne 8.$$
10. $$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$$
    
    $$x \ge 0,$$
    и кроме того
    $$\sqrt{x}-3 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 3 \Rightarrow x \ne 9.$$
11. $$\frac{1}{\sqrt{x}+3}$$
    
    $$x \ge 0.$$
    При этом $$\sqrt{x}+3>0$$, значит дополнительных ограничений нет.
12. $$\sqrt{x}\cdot\sqrt{-x}$$
    
    Нужно одновременно:
    $$x \ge 0 \quad \text{и} \quad -x \ge 0.$$
    Отсюда
    $$x=0.$$
13. $$\frac{1}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{-x}}$$
    
    Нужно одновременно:
    $$x \ge 0,\quad -x \ge 0,$$
    то есть $$x=0,$$ но тогда знаменатель равен нулю. Следовательно, выражение не имеет смысла ни при каких $$x$$.
14. $$\sqrt{|x|}$$
    
    Так как $$|x| \ge 0$$ при любом $$x$$, выражение имеет смысл при любом $$x$$.
15. $$\sqrt{-|x|}$$
    
    $$-|x| \ge 0 \Rightarrow |x| \le 0 \Rightarrow x=0,$$
    но тогда подкоренное выражение равно $$0$$, значит выражение имеет смысл только при $$x=0$$.
16. $$\frac{1}{\sqrt{|x|}}$$
    
    Нужно, чтобы
    $$|x| \ge 0$$
    и знаменатель не был равен нулю:
    $$\sqrt{|x|}\ne 0 \Rightarrow |x|\ne 0 \Rightarrow x\ne 0.$$
    Значит, $$x$$ — любое число, кроме нуля.

Упростим выражение:

$$
\left(\frac{a}{a^2-25}+\frac{5}{5-a}+\frac{1}{a+5}\right):\left(\frac{28-a^2}{a+5}+a-5\right).
$$

Разложим на множители:
$$
a^2-25=(a-5)(a+5), \qquad 5-a=-(a-5).
$$
Тогда
$$
\frac{a}{a^2-25}+\frac{5}{5-a}+\frac{1}{a+5}
=
\frac{a}{(a-5)(a+5)}-\frac{5}{a-5}+\frac{1}{a+5}.
$$
Приведём к общему знаменателю:
$$
\frac{a-5(a+5)+a-5}{(a-5)(a+5)}
=
\frac{-3a-30}{(a-5)(a+5)}
=
\frac{-3(a+10)}{(a-5)(a+5)}.
$$

Вторая скобка:
$$
\frac{28-a^2}{a+5}+a-5
=
\frac{28-a^2+(a-5)(a+5)}{a+5}
=
\frac{28-a^2+a^2-25}{a+5}
=
\frac{3}{a+5}.
$$

Теперь делим:
$$
\frac{-3(a+10)}{(a-5)(a+5)}:\frac{3}{a+5}
=
\frac{-3(a+10)}{(a-5)(a+5)}\cdot\frac{a+5}{3}
=
-\frac{a+10}{a-5}
=
\frac{a+10}{5-a}.
$$

Область допустимых значений:
$$
a\ne -5,\quad a\ne 5.
$$

Ответ

1) $$x \ge 0$$; 2) $$x \le 0$$; 3) $$x$$ — любое число; 4) $$x=0$$; 5) $$x \ge 8$$; 6) $$x \le 8$$; 7) $$x$$ — любое число; 8) $$x$$ — любое число; 9) $$x \ne 8$$; 10) $$x \ge 0,\ x \ne 9$$; 11) $$x \ge 0$$; 12) $$x=0$$; 13) не имеет смысла ни при каких $$x$$; 14) $$x$$ — любое число; 15) $$x=0$$; 16) $$x \ne 0$$.

$$\frac{a+10}{5-a}, \qquad a\ne -5,\ a\ne 5.$$