Упр.376 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Натуральные числа х, у, z таковы, что значения выражений х + у, у + z, х + z — простые числа. Докажите, что среди чисел х, у, z есть по крайней мере два числа, равные 1.

Подробный ответ

Среди простых чисел только одно чётное — число $$2$$. Значит, если сумма двух натуральных чисел является простым числом, то эта сумма должна быть нечётной.

Рассмотрим числа $$x+y$$, $$y+z$$ и $$x+z$$. Все они простые, следовательно, все три суммы нечётные.

Но сумма двух натуральных чисел нечётна только тогда, когда одно из них чётное, а другое нечётное. Поэтому числа $$x$$, $$y$$, $$z$$ попарно различной чётности быть не могут: если бы среди них было два нечётных и одно чётное, то сумма двух нечётных чисел была бы чётной, то есть не могла бы быть простым числом (кроме случая $$2$$, но сумма двух нечётных чисел не равна $$2$$).

Значит, среди $$x$$, $$y$$, $$z$$ не может быть двух нечётных чисел. Следовательно, как минимум два из этих чисел чётные.

Пусть, например, $$x$$ и $$y$$ — чётные. Тогда $$x+y$$ — чётное число. Но по условию $$x+y$$ — простое, значит,

$$x+y=2.$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — натуральные чётные числа, то единственная возможность:

$$x=1,\quad y=1.$$

Аналогично получаем, что и в любом другом случае среди $$x$$, $$y$$, $$z$$ по крайней мере два числа равны $$1$$.