Упр.372 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

(a+b)2/(a-b) : (a/(a-b) + (a2+b2)/(a2-b2) — a/(a+b)) = a+b. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна:
1) 25 см2;
2) 1600 дм2;
3) 0,04 м2.

Преобразуем левую часть тождества:

$$
\frac{(a+b)^2}{a-b}:\left(\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a}{a+b}\right)
$$

Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$, то

$$
\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}.
$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$
\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}-\frac{a}{a+b}
=
\frac{a(a+b)+a^2+b^2-a(a-b)}{(a-b)(a+b)}.
$$

Упростим числитель:

$$
a(a+b)+a^2+b^2-a(a-b)=a^2+ab+a^2+b^2-a^2+ab=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.
$$

Тогда

$$
\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a}{a+b}
=
\frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a+b}{a-b}.
$$

Теперь вся левая часть равна

$$
\frac{(a+b)^2}{a-b}:\frac{a+b}{a-b}
=
\frac{(a+b)^2}{a-b}\cdot\frac{a-b}{a+b}
=
a+b.
$$

Тождество доказано.

Пусть $$a$$ — сторона квадрата, тогда $$S=a^2$$.

1. $$a^2=25$$, значит $$a=5$$ см.

2. $$a^2=1600$$, значит $$a=40$$ дм.

3. $$a^2=0{,}04$$, значит $$a=0{,}2$$ м.

Ответ

$$a+b=a+b.$$

1) $$5$$ см; 2) $$40$$ дм; 3) $$0{,}2$$ м.