Упр.370 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Задайте с помощью формул функцию, график которой изображен на рисунке 15. Докажите, что значение выражения 27^6 — 9^7 кратно 48.

Подробный ответ

По рисунку видно, что график состоит из двух частей:

1) при $$x \le 1$$ это парабола $$y=x^2$$;

2) при $$x>1$$ функция постоянна и равна $$1$$.

Значит, искомая функция задаётся формулой

$$
y=
\begin{cases}
x^2, & x \le 1,\\
1, & x>1.
\end{cases}
$$

Докажем, что $$27^6-9^7$$ кратно $$48$$:

$$
27^6-9^7=(3^3)^6-(3^2)^7=3^{18}-3^{14}=3^{14}(3^4-1).
$$

$$
3^{14}(3^4-1)=3^{14}(81-1)=3^{14}\cdot 80=3^{14}\cdot 16\cdot 5=3^{13}\cdot 3\cdot 16\cdot 5=3^{13}\cdot 48\cdot 5.
$$

Так как выражение представлено в виде произведения, одним из множителей которого является $$48$$, то всё выражение кратно $$48$$.