Упр.369 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

(x2-y)/((x+2)2 + (y-4)2) = 0. Решите уравнение:
6/(x-2) — (x+3)/x = (x+6)/(x2-2x).

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x^2-y}{(x+2)^2+(y-4)^2}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x^2-y=0,$$

$$ (x+2)^2+(y-4)^2\ne 0.$$

Из первого равенства получаем

$$y=x^2.$$

Так как знаменатель — сумма квадратов, то он равен нулю только при

$$x=-2,\quad y=4.$$

Значит, график уравнения — парабола $$y=x^2$$ с выколотой точкой $$(-2;4)$$.

2) Решим уравнение

$$\frac{6}{x-2}-\frac{x+3}{x}=\frac{x+6}{x^2-2x}.$$

ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 2.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{6}{x-2}-\frac{x+3}{x}-\frac{x+6}{x(x-2)}=0,$$

$$\frac{6x-(x+3)(x-2)-x-6}{x(x-2)}=0.$$

Раскроем скобки:

$$6x-(x^2+x-6)-x-6=0,$$

$$-x^2+4x=0,$$

$$-x(x-4)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=4.$$

Но $$x=0$$ не подходит по ОДЗ, значит

$$x=4.$$

Ответ

1) $$y=x^2$$, $$x\ne -2$$, $$y\ne 4$$.

2) $$x=4$$.