Упр.364 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

f(x) = {-6/x, если x =< -1; x^2, если x > -1.
1) Найдите f(-12), f(-1), f(-0,9), f(3), f(0).
2) Постройте график данной функции.
3) Определите, при каких значениях а прямая у = а будет иметь с графиком данной функции ровно две общие точки. Постройте график уравнения:
1) (y-x2)/((x-1)2+(y-1)2) = 0;
2) (y-x2)/(y-x) = 0.

Подробный ответ

Функция задана так:

$$
f(x)=
\begin{cases}
-\dfrac{6}{x}, & x\le -1,\\
x^2, & x>-1.
\end{cases}
$$

1) Найдём значения функции:

$$
f(-12)=-\dfrac{6}{-12}=\dfrac12=0{,}5,
$$

$$
f(-1)=-\dfrac{6}{-1}=6,
$$

$$
f(-0{,}9)=(-0{,}9)^2=0{,}81,
$$

$$
f(3)=3^2=9,
$$

$$
f(0)=0^2=0.
$$

2) График состоит из двух частей:

при $$x\le -1$$ — ветвь гиперболы $$y=-\dfrac{6}{x}$$;
при $$x>-1$$ — парабола $$y=x^2$$.

Точка $$(-1,6)$$ принадлежит первой части графика, а точка $$(-1,1)$$ не входит во вторую часть, так как при $$x=-1$$ вторая формула не используется.

3) Прямая $$y=a$$ имеет с графиком ровно две общие точки, если она пересекает обе части графика по одной точке. Для параболы $$y=x^2$$ при $$x>-1$$ это происходит при $$0<a\le 1$$, а для гиперболы $$y=-\dfrac{6}{x}$$ при $$x\le -1$$ — при $$a\ge 6$$. Общие значения, при которых получается ровно две точки пересечения, отсутствуют, поэтому нужно рассмотреть отдельно случаи касания и пересечения по одной точке на каждой части графика. В итоге ровно две общие точки получаются при $$1<a\le 6$$.

4) Решим уравнения.

1. $$\dfrac{y-x^2}{(x-1)^2+(y-1)^2}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$
\begin{cases}
y-x^2=0,\\
(x-1)^2+(y-1)^2\ne 0.
\end{cases}
$$

Отсюда

$$
y=x^2,\qquad (x,y)\ne(1,1).
$$

Значит, это график параболы $$y=x^2$$ с выколотой точкой $$ (1,1) $$.

2. $$\dfrac{y-x^2}{y-x}=0$$

Аналогично:

$$
\begin{cases}
y-x^2=0,\\
y-x\ne 0.
\end{cases}
$$

То есть

$$
y=x^2,\qquad y\ne x.
$$