Упр.363 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

f(x) = {x^2, если x =< 0; x + 1, если x > 0.
1) Найдите f(-7), f(0), f(2).
2) Постройте график данной функции.
3) Определите, при каких значениях а прямая у = а будет иметь с графиком данной функции ровно одну общую точку. Найдите область определения, область значений и нули функции у = -х2. Постройте график этой функции.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$
f(x)=
\begin{cases}
x^2, & x\le 0,\\
x+1, & x>0.
\end{cases}
$$

1) Найдём значения функции:

$$f(-7)=(-7)^2=49,$$

$$f(0)=0^2=0,$$

$$f(2)=2+1=3.$$

2) Построим график.

При $$x\le 0$$ график задаётся параболой $$y=x^2$$, берём только левую её ветвь вместе с точкой $$\left(0;0\right)$$.

При $$x>0$$ график задаётся прямой $$y=x+1$$, при этом точка $$\left(0;1\right)$$ не входит в график, так как $$x>0$$.

3) Прямая $$y=a$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если:

$$a=0$$ — тогда она касается параболы в точке $$\left(0;0\right)$$;
$$0<a<1$$ — тогда она пересекает только параболу один раз, а с прямой $$y=x+1$$ не пересекается;
$$a=1$$ — общая точка только одна: $$\left(0;1\right)$$ не принадлежит графику, а с параболой пересечения нет, значит нужно проверить: при $$a=1$$ прямая $$y=1$$ пересекает параболу в точке $$\left(-1;1\right)$$ и прямую $$y=x+1$$ в точке $$\left(0;1\right)$$ не пересекает, так как $$x>0$$. Следовательно, общая точка одна.

Итак, ровно одна общая точка будет при $$0\le a<1$$.

Для функции $$y=-x^2$$:

область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;

область значений: $$E(y)=(-\infty;0]$$;

нули функции: $$x=0$$.

График — парабола с вершиной в точке $$\left(0;0\right)$$, ветви направлены вниз.