Упр.361 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

f(x) = {4, если x =< -2; x^2, если -2 < x < 1; 2x - 1, если x >= 1.
1) Найдите f(-3), f(-2), f(-1), f(1), f(3), f(0,5).
2) Постройте график данной функции.
3) Определите, при каких значениях а прямая у = а будет иметь с графиком данной функции ровно две общие точки. Постройте график функции:
1) y = (x3+x2)/(x+1);
2) y = (x4-4×2)/(x2-4).

1) По заданию функции:

$$
f(x)=
\begin{cases}
4, & x\le -2,\\
x^2, & -2<x<1,\\
2x-1, & x\ge 1.
\end{cases}
$$

$$
f(-3)=4,\quad f(-2)=4,\quad f(-1)=(-1)^2=1,
$$
$$
f(1)=2\cdot 1-1=1,\quad f(3)=2\cdot 3-1=5,\quad f(0{,}5)=(0{,}5)^2=0{,}25.
$$

2) График состоит из трёх частей:

• прямая $$y=4$$ при $$x\le -2$$;
• ветвь параболы $$y=x^2$$ при $$-2<x<1$$;
• прямая $$y=2x-1$$ при $$x\ge 1$$.

Точки $$(-2;4)$$ и $$ (1;1) $$ входят в график, так как в этих точках заданы соответствующие куски функции.

3) Прямая $$y=a$$ пересекает график ровно в двух точках, если она:

• не пересекает горизонтальный участок $$y=4$$;
• пересекает параболу $$y=x^2$$ в двух точках.

Это возможно при

$$
0<a<4.
$$

4) Упростим выражения:

$$
y=\frac{x^3+x^2}{x+1}=\frac{x^2(x+1)}{x+1}=x^2,\quad x\ne -1.
$$

Значит, график — парабола $$y=x^2$$ с выколотой точкой $$(-1;1)$$.

$$
y=\frac{x^4-4x^2}{x^2-4}=\frac{x^2(x^2-4)}{x^2-4}=x^2,\quad x\ne \pm 2.
$$

Значит, график — парабола $$y=x^2$$ с выколотыми точками $$(-2;4)$$ и $$ (2;4) $$.

Ответ

1) $$f(-3)=4,\ f(-2)=4,\ f(-1)=1,\ f(1)=1,\ f(3)=5,\ f(0{,}5)=0{,}25.$$
2) График состоит из частей $$y=4$$ при $$x\le -2$$, $$y=x^2$$ при $$-2<x<1$$ и $$y=2x-1$$ при $$x\ge 1$$.
3) $$0<a<4.$$
4) 1) $$y=x^2,\ x\ne -1$$; 2) $$y=x^2,\ x\ne \pm 2$$.