Упр.352 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) y = (9x — 18)/(x^2 — 2x);
2) y = (5x^2 — 5)/(x — x^3).
Пользуясь построенным графиком, определите, при каких значениях к прямая у = kх будет иметь с графиком дайной функции единственную общую точку. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций у = х2 и у = 4х — 4. Постройте графики данных функций и отметьте найденные точки.

Подробный ответ

1) Упростим выражение:
$$
y=\frac{9x-18}{x^2-2x}=\frac{9(x-2)}{x(x-2)}=\frac{9}{x}, \quad x\ne 0,\ x\ne 2.
$$
Значит, график функции совпадает с графиком $$y=\frac{9}{x}$$, но точка $$x=2$$ исключена.
Для построения возьмём несколько точек:
$$
x=1 \Rightarrow y=9,\qquad x=3 \Rightarrow y=3.
$$
Прямая $$y=kx$$ имеет с графиком единственную общую точку, если проходит через выколотую точку $$\left(2;\,4{,}5\right)$$. Тогда
$$
4{,}5=2k \Rightarrow k=\frac{4{,}5}{2}=2{,}25.
$$
2) Упростим выражение:
$$
y=\frac{5x^2-5}{x-x^3}=\frac{5(x^2-1)}{x(1-x^2)}=\frac{5(x^2-1)}{-x(x^2-1)}=-\frac{5}{x},
$$
$$
x\ne 0,\ x\ne 1,\ x\ne -1.
$$
Значит, график функции совпадает с графиком $$y=-\frac{5}{x}$$, но точки $$x=\pm1$$ исключены.
Для построения можно взять точки:
$$
x=1 \Rightarrow y=-5,\qquad x=-5 \Rightarrow y=1.
$$
Чтобы прямая $$y=kx$$ имела с графиком единственную общую точку, она должна проходить через одну из выколотых точек $$(-1;\,5)$$ или $$(1;\,-5)$$. Но тогда прямая $$y=-5x$$ проходит через обе эти точки, и общих точек будет две.
Следовательно, таких значений $$k$$ не существует.
Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2$$ и $$y=4x-4$$:
$$
x^2=4x-4
$$
$$
x^2-4x+4=0
$$
$$
(x-2)^2=0
$$
$$
x=2,\qquad y=2^2=4.
$$
Точка пересечения одна: $$(2;\,4)$$.