Упр.349 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Постройте график функции у = 6/|x|. Каждый из трех учеников написал по 100 разных слов. После этого одинаковые слова вычеркнули. В результате у первого ученика осталось 45 слов, у второго — 68, а у третьего — 78. Докажите, что по крайней мере одно слово записали все трое.

Функция $$y=\frac{6}{|x|}$$ определена при $$x\ne 0$$. Так как модуль в знаменателе всегда положителен, получаем

$$
y=
\begin{cases}
\frac{6}{x}, & x>0,\\[4pt]
-\frac{6}{x}, & x<0.
\end{cases}
$$

Значит, график состоит из двух ветвей гиперболы, симметричных относительно оси $$Oy$$. Для построения удобно отметить несколько точек: $$\left(1;6\right), \left(2;3\right), \left(3;2\right), \left(6;1\right)$$ и симметричные им точки $$\left(-1;6\right), \left(-2;3\right), \left(-3;2\right), \left(-6;1\right)$$. Асимптоты графика: $$x=0$$ и $$y=0$$.

Докажем, что хотя бы одно слово записали все трое.

Пусть общего для всех трёх учеников слова не было. Тогда число слов, записанных хотя бы двумя учениками, можно обозначить так:

• $$x$$ — у первого и второго;
• $$y$$ — у первого и третьего;
• $$z$$ — у второго и третьего.

После вычёркивания одинаковых слов у первого осталось $$45$$ слов, значит, вычеркнули $$100-45=55$$ слов. Аналогично:

$$100-68=32,$$

$$100-78=22.$$

Тогда получаем систему:

$$
\begin{cases}
x+y=55,\\
x+z=32,\\
y+z=22.
\end{cases}
$$

Сложим все три уравнения:

$$
2(x+y+z)=55+32+22=109.
$$

Левая часть — чётное число, а правая — нечётное. Получили противоречие. Значит, наше предположение неверно, и хотя бы одно слово записали все трое учеников.

Ответ

График функции состоит из двух ветвей гиперболы с асимптотами $$x=0$$ и $$y=0$$. Среди слов обязательно есть хотя бы одно, записанное всеми тремя учениками.