Упр.340 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 8/x = 6-x;
2) 2x = 2/x;
3) 7/x = -x. Постройте график функции:
1) y =
система
-2/x, если x<=1, x+3, если x>-1;
2) y =
система
-2x+10, если x<=2, 12/x, если 2=4.

Подробный ответ

Решим уравнение графически, построив графики функций $$y=\frac{8}{x}$$ и $$y=6-x$$.
Точки пересечения графиков удовлетворяют уравнению:
$$
\frac{8}{x}=6-x
$$
Умножим на $$x$$, $$x\neq 0$$:
$$
8=6x-x^2
$$
$$
x^2-6x+8=0
$$
$$
(x-2)(x-4)=0
$$
$$
x=2 \text{ или } x=4
$$
Построим графики функций $$y=2x$$ и $$y=\frac{2}{x}$$.
Точки пересечения графиков задаются уравнением:
$$
2x=\frac{2}{x}
$$
При $$x\neq 0$$ умножим на $$x$$:
$$
2x^2=2
$$
$$
x^2=1
$$
$$
x=\pm 1
$$
Построим графики функций $$y=\frac{7}{x}$$ и $$y=-x$$.
Точки пересечения должны удовлетворять уравнению:
$$
\frac{7}{x}=-x
$$
При $$x\neq 0$$ умножим на $$x$$:
$$
7=-x^2
$$
$$
x^2=-7
$$
Действительных решений нет, значит графики не пересекаются.
Построим график функции
$$
y=
\begin{cases}
-\frac{2}{x}, & x\le -1,\\
x+3, & x>-1.
\end{cases}
$$
При $$x=-1$$ получаем $$y=-\frac{2}{-1}=2$$, значит точка $$(-1;2)$$ принадлежит первой части графика. Вторая часть начинается справа от $$x=-1$$ и задаётся прямой $$y=x+3$$.
Построим график функции
$$
y=
\begin{cases}
-2x+10, & x\le 2,\\
\frac{12}{x}, & 2<x<4,\\
3, & x\ge 4.
\end{cases}
$$
При $$x=2$$ первая часть даёт $$y=-2\cdot 2+10=6$$, значит точка $$ (2;6) $$ принадлежит графику. На промежутке $$2<x<4$$ строится ветвь гиперболы $$y=\frac{12}{x}$$, а при $$x\ge 4$$ график — горизонтальная прямая $$y=3$$.